虚数を用いて物理現象を予測できるの？ 的中率 は？

質問

こんにちは。

数学や物理が苦手なのですが、すごく気になる存在に「虚数」があります。現実には存在しない数なんですよね。

でも、物理学の式の中には虚数も出てくると思うのですが（よく知らないのですが出てくるのでは・・・）、もし、その虚数を含んだ状態（式など）で、何かの物質でも波でも、その挙動などを正確に予測できるとすれば、虚数という怪しい存在が実在としてこの世界に存在してる証拠になるのかなぁと思いました。

実際のところどうなのですか。ご存知の方教えてください！！

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No.7 の補足です。

まず、２項ベクトルというのは (3, 4) というような数が2個ならんだ
ベクトルのことです。

さて、いろいろな考え方があるのですが、

例えば、正負の概念を取り入れたことで、
数には「方向」の概念が加りました。、
これをさらに２次元的な「方向」に拡張したのが
複素数と考えることができます。

つまり、(-1) をかけるというのは数の方向を 180度変えると考えると、
90度変えるものがあってもよいのでは？　ということです。

実際

x=a+bi を２次元の位置座標 (a, b) と考えると xi=-b+ai は
座標 x を90度左へ回転したものになっています。

こう考えると、２回かけると -1 になる数というものの
実在性に納得がゆくとおもいます。

お礼

補足ありがとうございます！！

まず、２項ベクトルというのは (3, 4) というような座標(x,y)みたいなベクトルなのですね。

物理の話から数学の話になっていってすみませんm(_ _)m

(1)正負の概念とは「方向」の概念と似たようなものなのですね。いわば、直線だと思うのですが。

(2)それで、複素数は２次元的な「方向」というと平面みたいな感じですか？

＞(-1) をかけるというのは数の方向を 180度変えると考えると、

これがいわば正負の概念で「方向」が変わることに対応していると理解しました。

＞90度変えるものがあってもよいのでは？　ということです。

９０度にも変わりうるということは平面でなくてはならないので複素数の話だと理解しました。

＞x=a+bi を２次元の位置座標 (a, b) と考えると xi=-b+ai は
＞座標 x を90度左へ回転したものになっています。

x軸の原点からの距離がa、y軸の原点からの距離がbという感じでしょうか。

xi=-b+aiは、x=a+biの両辺にiを掛けるとxi=ai+bi^2になり、i^2=-1なので、xi=-b+aiですね！！

このときはx軸の原点からの距離が-b、y軸の原点からの距離がaiになると理解しました。

このとき、xとyの平面上での(a,bi)と(-b,ai)の関係ですが、回答者さまによると９０度左に回転した関係にあるということをおっしゃっていると思います。でも、ここだけは理解できませんでした。すみません。

ただ、回答者さまの言わんとしているところは、２回かけると -1 になる数というものは、９０度回転した場所に存在するというか、そういうことではないかとがんばって考えました。

回答No.9

windwald

#7,8さんへのお礼から

>>x=a+bi を２次元の位置座標 (a, b) と考える
>x軸の原点からの距離がa、y軸の原点からの距離がbという感じでしょうか。
間違いではないのですが、言い回しが気になります。
いわゆるx,y座標と対応させるならば、a+biはx座標がa、y座標がbと言うところです。
(「x軸の原点からの距離がa」だと、x座標は-aでも良いことになるため。)
ちなみに横軸は「実軸」、縦軸を「虚軸」と呼びます。

複素数a+biの原点からの距離r=|a+bi|は三平方の定理より√(a^2+b^2)、
また、-b+aiの原点からの距離(|-b+ai|と表す)は同様に√(a^2+b^2)です。
どちらも等しいですね。

さらに、三角関数との対応では、a+biと原点を結ぶ線分と、実軸のなす角度θ1との関係は
sinθ1＝b/r　cosθ1＝a/r
同様に-b+aiと原点を結ぶ線分と実軸のなす角度θ2との関係は
sinθ2＝a/r　cosθ2＝-b/r
と表せます。
さて、角度θ1とθ2の関係を調べてみます。
ここで三角関数の加法定理より
sin(θ1+90°)＝sinθ1*cos90°＋cosθ1*sin90°＝cosθ1＝a/r＝sinθ2
cos(θ1+90°)＝cosθ1*cos90°－sinθ1*sin90°＝-sinθ1＝-b/r＝cosθ2

よってθ2はθ1を90°回転させたものと等しいことが示されました。

で、実際に図を書いてみてください。たとえば3+2iとそのi倍である-2+3iと。

お礼

ありがとうございます。

三角関数が不得意なので非常に意味わからなくなってました(>_<)

複素数の位置座標の捉え方は参考になりました！！

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

かっては、負の数や小数でさえ「数」として認めてもらえなかったそうです。
ものを数えるための「数」という概念を超えてしまったからです。
でも損得勘定や、油などの商取引には新しい数の概念が必要で、
「数」に仲間入りしました。

ですから、「現実には存在しない数」という考え方は無意味です。
用法が存在すれば、その数はいつだって存在します。

＃複素数は特有の掛け算規則を定めた2項ベクトルにすぎないです。

お礼

ありがとうございます。

負の数や少数でさえ「数」として認めてもらえなかった時代があったということですね。

回答者様はとても興味深いことをおっしゃっていますね。次のことです。

＞複素数は特有の掛け算規則を定めた2項ベクトルにすぎない

a+biでしたっけ。biの部分は掛け算規則だということは分かります。2項ベクトルとはなんですか。とても興味深いです。

回答No.6

chiha2525

算数と数学の違いって知っていますか？

算数は、数を現実のものに対応させるのです。りんごが２つとか、みかん１袋３００円とか。鶴亀算でｘとｙを使って解かないのは、算数にそういうしばりがあるためです。
数学は、数の概念を対象にします。だから虚数iでもルート２でも無限大でも扱えます。これらは現実にはないものです。フラクタルなんか、なまじっかグラフとか見れるので、概念を考えると頭が痛くなります。群論なんかをガロアがらみで書いてある本を読むと、数学自体に対する概念がちょっと変わったりします。
数学的概念は、人間固有の”何か”に拠らないものであり、他の知的生命体が存在すれば、同じ数学的概念を持つ、と多くの数学者は考えているようです。

脱線しましたが、物理は現実を数学という道具で書いているので、そこで色々解釈が入り込みます。虚数iが観測されないから現実ではない、とかはそういうことです。解釈に疑問があったとしても、数学的に導かれる答えは非常に正しく観測されます。

お礼

ありがとうございます。

算数と数学の違いは説明せよと言われてもできませんでした。

算数は数を現実のものに対応させるのですね。xやyは変数で定まらない数だから現実の数ではないということですね。

フラクタルをグラフとか見える？　群論？　ガロア？？　ハテナで頭がいっぱいです(?_?)

ただ、脱線したとおっしゃていますが、とてもいいことを教えていただきました。

数学的概念は人間という種に依存する（種に固有の、という意味）ものではなく、他の知的生命体（これも種と考えます）も同じ数学的概念を持つ、つまり普遍性があると数学者は考えているということです。

本題に戻りますと、虚数を用いても数学という道具を使って導かれることは現実世界でかなり正しく観測されるということですね！！

回答No.5

noname#175206

>すごく気になる存在に「虚数」があります。現実には存在しない数なんですよね。

　ありゃりゃ。ピグマリオン症候群になりかかってますよ、気を付けて。

　現実世界、これを後で述べる世界と区別するため、RealのRでR世界ということにします。人間の考えてることとか、そういうことは含まないとします。
　R世界には、そもそも「数」はありません。数は人間が考え事をする道具ですから。自然数も整数も有理数も無理数も虚数も複素数も、全部人間の頭の中だけ（頭のためにある、本やノートやコンピュータデータ等々に記載されてる数を含む）。

　地球は丸い。球ですね（ちょびっと歪んでるけど無視）。どこを見回しても、円周や面積や体積や直径や、そんなもの見当たりません。赤道だって、そうだと言われてるところに行っても何もありません。あるというなら、掴んで持って来てもらいたいものです。

　こういうのは、人間の頭の中だけにあるんですね。人間は動物としては強くないのに、世界で一番栄えているのは、考える力なら地球でいちばんだからです。
　ぼんやり物を眺めていても、ただそれだけです。ですんで、高さだの、距離だの、その他R世界に無いものを、いろいろなと考えるための道具としえ「定義」して、さらに高度な考えの助けにして、発展してきたわけです。

　虚数だって、実数と平等ですよ。数の歴史を考えると似たようなことは、何度も起こっています。
　初めて誰かがゼロを考え出したときも、「何もないのに数えられるって何？」と、分かってもらうのに時間がかかりました。
　初めて、マイナスの数が考え出された時も、「無いより少ないって何？」と、不思議に思われました。
　小数、分数、有理数、無理数、実数など、全部、そうです。そういう数がある方が便利だから、数の仲間に加えてきたわけです。どれもが、ちゃんとM世界に平等に実在しています。虚数も、その後から、便利な奴として加わってきただけです。もう既にいた、実数と手を組んで、複素数というものも生まれました。
　数の種類が増えるたびに、数学、物理学、いろいろと新しいことを計算できるようになり、発展してきました。

　でも、R世界は、人間の頭の中に数があろうがなかろうが、関係ありません。物理法則を人間が発見しようがしまいが、R世界の知ったことではありません。法則が見つかったから、今までと変えなきゃいけない、なんてことはありませんし、あったら怖いです。

　しかし、M世界があまりにも上手にR世界のことを説明できるものだから、中にはM世界が実体でR世界は虚像か幻想だと感じる人が出たりします。既に古代ギリシアのある学派では、世界が数でできていると信じていて、無理数に気が付いたとき、無理数は世界を破壊するというようなことだったか、まあ、嫌な数と思って、秘密にしていたそうです。

　ピグマリオンとは、古代ギリシア神話のある話の主人公です。美しい女性の銅像だったか彫刻だったかを作ったのですが、あまりに美しく作ったため、その銅像を愛してしまったという話です（神話では、銅像に命が与えられましたが）。
　そこから、実在から作ったモノを、実在と勘違いすることを、ピグマリオン症候群と、一部の物理屋さんは呼んでいます。

　数は、必要に応じていくらでも改良すればいい道具でしかありません。あるもないも、必要なら、もう考え出されたどんな種類の数でも使えばいいし、何か今後、不足があれば、また新しい数を作ればいい、それだけのことです。

お礼

ありがとうございます。

ピグマリオン症候群？？　心理学みたいですね（汗）

Real world(R世界）とMathmatical world(M世界）に分けてご説明いただきまして、とても分かりやすかったです。

数の歴史的な変遷についてもありがとうございます。

＞M世界があまりにも上手にR世界のことを説明できるものだから、中にはM世界が実体でR世界は虚像か幻想だと感じる人が出たりします。既に古代ギリシアのある学派では、世界が数でできていると信じていて、無理数に気が付いたとき、無理数は世界を破壊するというようなことだったか、まあ、嫌な数と思って、秘密にしていたそうです。

これはとても本質をついていると思います。「(1)M世界がR世界を説明できる、ならば、(2)M世界が本質であり（実体）、R世界は虚像である」という推論などは私などは納得してしまいそうです。

この考え方は偽なのですか。論理学をもってきて、「(1)が真ならば(2)は真」を証明するのは対偶？を調べるのでしたっけ。R世界が本質でないならば、M世界も本質ではない？？？

なんだか、変です。

論理学ちゃんと理解できていません。

あ～、自分の数学や論理学の能力の無さにがっかりします・・・。

ちなみにピグマリオン症候群とは、今回のケースだと数の方を実在と思い込んでいることを指しているのですね！！

回答No.4

hitokotonusi

物理で複素数を使う場合、だいたい3つの場合があります。

(1) 実部のみが物理的に意味がある
(2) 実部と虚部に異なる物理量を割り当ててあり、共に意味がある。
(3) 本質的に複素数

(1)(2)は計算を容易にするために便宜的に複素数を使っているだけなので、
複素数を使うことで結果が変ることはありません。

(3)は量子力学の場合です。量子力学では、解である波動関数が本質的に複素関数になります。
ですが、現実の実験と照らし合わせる場合には期待値を計算することになり、そのときに使うのは波動関数の絶対値の二乗で実数になります。得られる期待値も実数です。これは実際に測定できる量は実数であるという要請から来ています。

量子力学では確率しか求められないので個々の粒子がどのような状態になるかは、通常の意味で「予測」することはできません。しかし、多数回の測定を行った結果の平均がどうなるかは予測することができ、今のところ量子力学計算は正しい結果を与えています。

複素数である波動関数が物理的な実体であるかどうかは今のところわかっていません。

お礼

明快なご説明ありがとうございます。

計算を容易にするために複素数を使う場合は、複素数が本質的に必要というわけではないですね。

それで一番気になるのは（３）の本質的に複素数の場合です。量子力学の場合ですか。

だとすると、量子力学で使用する式で何かの現象を予測するときに複素数を引数（プログラム的な発言ですみません）にしてどうなるかが出るわけですね。

予測するものは観測可能なものにしなければ意味がないので、波動関数は絶対値の二乗という操作をして実数にしているとのこと、わかりやすいです。

しかしながら、波動関数が物理的な実体であるかは今のところわかっていないとのことで、複素数という数学的概念が宇宙の法則？のなかに存在するかはまだわからないということですね。

クリアーなご回答ありがとうございました！！

回答No.3

bensharman

以下は私の理解でありますが、私たちの身の回りに１個のりんごはありますが１という数そのものはありません。つまり１という数は何か実態のあるものではなく抽象的な概念なのです。しかし数というものを数学的に定義してそれらを足したり引いたりすることはできます。虚数のｉに関しても同じです。１とか２とかは幼い頃から慣れ親しんでいるけどｉは慣れ親しんでいないので怪しげなものであると感じるのだと思います。

ちなみに例えば量子力学（簡単に言うと電子とかちっちゃいものを扱う物理学）では普通に虚数が出てきます。なので少なくとも大学で物理学科をでた人で虚数がなんだか怪しいものと思っている人はいないと思います（ただ数とは何か詳しく説明せよとか言われたらちょっと難しいですが）。

的中率に関してはその理論が予言する範囲では１００％確実な予言を与えます。

お礼

ありがとうございます。

数はあくまで概念として私たちが使っているだけで実態はないのですね。なかなか想像しがたいですが、だって、りんごは１個あるので・・・。

ちなみに虚数が普通に出てくるのは物理学の中でも量子力学の分野なのですね。

物理学科を出た人なら虚数が怪しいと思う人はいないって面白いです。私からすれば虚数は非常に怪しいので（笑）

的中率は物理の世界では１００％なのですね。さすが科学です。

回答No.2

noname#224896

複素数を用いて物理現象を予言するというよりも，より理解しやすくする為に虚数と実数を合わせた複素数という概念をりようしているだけであって，複素数を利用しない方法だとしても，表現方法が異なるだけで同じ結果になります．

的中率とは。。。。予言という言葉を受けて来ているのでしょう．
厳しいことを書きますが，科学には占いのような的中率という言葉は存在しません．
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さて，虚数にまつわるお話をさせていただきます．

　ｉ^2 = -1という性質を持つ数を虚数(imaginary number)　ｉ　と定義することで，数学の世界だけでなく，物理学の世界においても，数の概念が拡張された為，さらに広い事象が表現できるようになりました．

ご存知であるπは，円周率であり，分数にもできない√でも表せない無理数です．
自然対数の底 ｅ を，ネイピア（Napier）定数といいます．
e = 2.718281828459045235360287471352 …
という同じく無理数です．
θを位相（言い換えると，ｘ軸正方向からの角度θ）とすると，
数学者でもあり，物理学者でもあるEuler(オイラー)が，

e^(ｉπθ)＝cos(πθ)＋　ｉ*sin(πθ)

という法則があることを突き止め見事に証明しました．
俗に言う『オイラーの公式』というものです．

ここで，θ＝１の時，
e^(ｉπ)＝cos(π)＋　ｉ*sin(π)
　　　　＝-1 + 0 となり，

e^(ｉπ)　+　1 ＝ 0

という不思議な式が出来上がります．
無理数である e に対して， 虚数 i と無理数πを掛け合わせたものの乗数e^(iπ）
これと自然数の始まりである１との和が，その発見により，数学が飛躍的に進歩したゼロに等しいという．
見事な数式です．
ある学者が言いました．自然界は美しい表現であるはずだと．
まさに，これがそうであり，数学界において『人類の至宝』とまで評されています．

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実際に利用されて有効活用されているという事実だけ以下，書きましょう．
ほんの数例を挙げると，
数学面では，虚数の導入，即ち，複素数＝実数＋虚数という考え方をにより，導入前では絶対に解けない積分の問題があっさり解けたり，電磁気学において，交流での電流と電圧の位相差（波のずれ）がちょうど９０°であり，
また，電解の発生時に，磁界が電解との位相差がちょうど９０°というように，
ちょうど，９０°の位相のずれが生じている場合は，電流と電圧との相互関係，並びに，電界と磁界との相互関係を表すには，複素数を利用した方が理解しやすいという利点かあります．

“imaginary number”というように直訳すれば，“想像上の数字”です．実際に目で見ることは出来ません．

ちなみに，i は２元であるという表現があり，さらに，この拡張版もありますが，割愛させていただきます．
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以上，ご参考までに．

お礼

ありがとうございます。ちょっと難しかったのでじっくり読んでました（汗）

物理現象の予測は複素数を利用しているだけで絶対必要というわけではないのですね。

オイラーの公式というのは物理の法則ではないと思いますが、虚数の不思議というか、虚数は意味のある数だというか、虚数があると論理的な筋が通るというか、面白いですね！！

オイラーの公式の出し方はついていけませんでしたが、最終的に示された式

e^(ｉπ)　+　1 ＝ 0

は分かりました。無理数のeとπと虚数iをうまく組み合わせると０になるのですね。無理数と虚数はどちらも怪しげな数なのにゼロになれるとは不思議です・・・。

eの（i×π）乗に１を足すとゼロになる。ふむふむ。

回答No.1

windwald

そもそもの誤解があります。虚数は現実に"存在"する数です。
虚数という概念を導入したときから虚数はこの世に存在しているのです。
ただ、身の回りに虚数を「感じる」ことが少ないのです。

全ての数は概念上での存在です。
虚数の"存在"を「現実のものではない」と捉えるなら、
同様に全ての「数」という概念上の存在を否定しなくてはなりません。

たとえば虚数単位iとは、二乗すると-1となる数が「存在して」その解をi(と-i)であるとしたものです。

物理現象を説明するときに出てくる虚数は、用いると簡単に説明がつく、
というように「利用されている」と考えた方が良いのではないかと思います。

お礼

ありがとうございます。

全ての数は概念上で存在しているという意味で、虚数もこの世に存在しているということですね。

私の質問で「虚数の存在が分かるのでは」というのは説明不足でした(>_<)

「虚数という仮想のような概念を使って、虚数を含めた数式を作って、その式を計算して物の挙動というか現象を予測できたとすれば、物理現象に存在するメカニズムを虚数という概念を用いて説明したということになり、虚数という概念の導入が妥当であると証明できるのでは」ということです。