数Ｂの数列の問題です

質問

χ≠1のとき、

　　　　　 2　　　　　 n-1
１+２χ+３χ+・・・・+ｎχ

を求めよ。

数Ｂの数列の問題なんですが
解ける方いませんか？(;_;)

画像はります

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

i)x=1のとき
S
= 1 + 2 + 3 + n
= n * (n + 1) / 2

ii)x≠1のとき

S = 1 + 2 * x + 3 * x^2 + … + n * x^(n-1)
S * x = 0 + 1 * x + 2 * x^2 + … + (n-1) * x^(n-1) + n * x^n
よって
S * (1 - x) = 1 + x + x^2 + … + x^(n-1) - n * x^n
S * (1 - x) * x = 0 + x + x^2 + … + x^(n-1) + x^n - n * x^(n + 1)
だから
S * (1 - x) * (1 - x ) = 1 - (n + 1)* x^n + n * x^(n + 1)
つまり
S * (1 - x)^2 = 1 - (n + 1)* x^n + n * x^(n + 1)

S = (1 - (n + 1)* x^n + n * x^(n + 1)) / (1 - x)^2

(単なる検算なので回答に含めなくてよい)
試しにx = 2,n = 3としてみると
1 + 2 * 2 + 3 * 2^2 = 17
(1 - 4 * 2^3 + 3 * 2^4) = 1 - 32 + 48 = 17
で一致する。

お礼

ありがとうございます(^^ゞ

x^(n-1) とは xの(n-1)乗
とゆうことですか？？