数列の問題がわかりません

質問

数列の問題がわかりません

数列{aｎ}が条件
(n+2)(n+1)aｎ＋２　+　4(n+1)aｎ＋１　+　3aｎ=0
a１=-2, a２=4
を満たすとき、すべてのｎについて|aｎ|≦13/3が成り立つことを示せ。

この問題がわかりません。どなたかわかる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

hopper0024

＞　このあたり↓
1＞　=| 4a_{n+1}/(n+2) - 3a_n/(n+2)(n+1)|・・・a_{n+1}とa_nは異符号
2＞　<=| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|×13/3・・・|a_{n+1}|も|a_{n+1}|も13/3以下
3＞　ここで、4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)=(4n+1)/(n+2)(n+1)となるので、
4＞　分母も分子も正で、(n+2)(n+1)-(4n+1)=n^2-x+1>0
5＞　すなわち、| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|<1 となるので、
＞　がよくわからないのですが、詳しく教えていただけないでしょうか？

そうですね、ちょっと端折ったところですね（^^;

1行目は、xとyが異符号なら、|x+y|=|x-y|となることを利用しました。
2行目は、誤記がありますね。正しくは、|a_{n+1}|も|a_n|も13/3以下　でしたm(__;)m
それで、|a_{n+1}|<13/3　と　|a_n|<13/3 を利用しています。
3行目は、絶対値の中を通分して整理しただけです
4行目は、その分数の絶対値が１より小さいことを言おうとしていますが、分母も分子も正なので、単に分子＜分母を示せば良いので引き算をしたところ、絶対不等式になりました。いわゆる無条件で正になる不等式ですね。
5行目は、その分数の絶対値が１より小さくなった結論を示しています。

問題の漸化式の解釈は、私の考えで問題なかったようですね。さらに、質問があれば、ご遠慮なくどうぞ。

回答No.1

hopper0024

ちょっと式が紛らわしい表現ですが、おそらく、(n+2)(n+1)a_{n+2} + 4(n+1)a_{n+1} + 3a_n=0 であろうと解釈して解答します。
両辺にn!を掛けて、(n+2)!a_{n+2} + 4(n+1)!a_{n+1} + 3n!a_n=0
n!a_n=b_nとおくと、３項間の漸化式 b_{n+2} + 4b_{n+1} + 3b_n=0 が得られる。
これは、通常の解法で
b_{n+2} + b_{n+1}=-3(b_{n+1} + b_n)・・・(1)
b_{n+2} + 3b_{n+1}=-(b_{n+1} + 3b_n)・・・(2)
(1)よりb_{n+1} + b_n=(b_2+b_1)(-3)^n=6(-3)^n
(2)よりb_{n+1} + 3b_n=(b_2+3b_1)(-1)^n=2(-1)^n
これらの差をとって、b_n=(-3)^n-(-1)^n となり、a_n={(-3)^n-(-1)^n}/n!
したがって、a_nとa_{n+1}は符号が異なることがわかる。

|a_n|<13/3　を数学的帰納法で示す。n<=2について成り立つのは明らか。
n+2>=3 すなわち n>=1 のとき、
|a_{n+1}|<13/3,|3a_n|<13/3と仮定する。
与えられた漸化式より、a_{n+2}=- 4a_{n+1}/(n+2) - 3a_n/(n+2)(n+1) だから、
|a_{n+2}|=|- 4a_{n+1}/(n+2) - 3a_n/(n+2)(n+1)|
=| 4a_{n+1}/(n+2) - 3a_n/(n+2)(n+1)|・・・a_{n+1}とa_nは異符号
<=| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|×13/3・・・|a_{n+1}|も|a_{n+1}|も13/3以下
ここで、4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)=(4n+1)/(n+2)(n+1)となるので、
分母も分子も正で、(n+2)(n+1)-(4n+1)=n^2-x+1>0
すなわち、| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|<1 となるので、
|a_{n+2}|<13/3　が成り立つ。
以上より題意は成立する。

補足

回答ありがとうございます。

このあたり↓
=| 4a_{n+1}/(n+2) - 3a_n/(n+2)(n+1)|・・・a_{n+1}とa_nは異符号
<=| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|×13/3・・・|a_{n+1}|も|a_{n+1}|も13/3以下
ここで、4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)=(4n+1)/(n+2)(n+1)となるので、
分母も分子も正で、(n+2)(n+1)-(4n+1)=n^2-x+1>0
すなわち、| 4/(n+2) - 3/(n+2)(n+1)|<1 となるので、

がよくわからないのですが、詳しく教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。