恥を忍んで数学II（図形と方程式）

質問

点（ｘ、y）が不等式( x – 3)2乗 +(y－2) 2乗≦１の表す領域上を動くとする。

　　１）　　x2乗　＋　ｙ2乗　の最大値を求めよ

　　２）　　x分のｙの最大値を求めよ

　　３）　　１０x　＋　１０ｙ　の最大の整数値を求めよ

数学の記号もうまく入力できませんでした。　乗は累乗のことです。　２）は分数です。

　高校1年生です。中間テストの範囲です。解説も交えてご教授ください。

回答No.3

mister_moonlight

( x – 3)＾2 +(y－2)＾2≦１　‥‥(1)を図示する。これは点(3、2)を中心とする半径1の円の内部と周上。

I.
x＾2　＋　ｙ＾2＝k ‥‥(2) k＞0　とすると、これは原点を中心とする半径√kの円。
原点を中心とする同心円を書いて行くと、最大は円(1)が円(2)に内接するとき、又、最小は外接するとき。
従って、最大値は　原点と点(3、2)の距離が、2つの円の半径の差に等しいとき。
｜√k-1｜＝√13　これを解くと良い。

II.
ｙ/x＝m とすると、ｙ＝mx　‥‥(3)　となり、これは原点を通る傾きmの直線。
(1)の範囲で最大値と最小値は、(3)が(1)に接するとき。
点と直線との距離の公式から　(3)と点(3、2)との距離が円の半径の1に等しい。よって、｜3m-2｜/√(m＾2+1)＝1　の大きい方の値が最大値、小さいほうが最小値。

III.

IIと同じ考えでやると、｜30＋20-m｜/10√(2)＝1　の大きい方の値が最大値。
これを解くと、m＝50＋10√2＝64.142だから　mが10の倍数から　最大の整数値は　6。

お礼

大変感謝いたします。ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

gohtraw

（ｘ－３）＾２＋（ｙ－２）＾２＜＝１　というのは、中心が（３，２）で半径１の円周、およびその内部ですね。この円をCとします。
（１）
ｘ＾２＋ｙ＾２というのは、点（ｘ、ｙ）と原点の距離です。図を書いてみると、原点とCの中心を結ぶ直線と、Cの円周の交点が求める点（原点からの距離が最大になる点）だと判ります。

（２）
ｙ／ｘ＝ｋとおくと、ｙ＝ｋｘです。これは原点を通る傾きｋの直線ですね。この直線がＣと交点（あるいは接点）を持ちながら傾きをいろいろ変えるとき、ｋ、つまり直線の傾きが最大になるのはどういうときでしょう？

（３）
１０ｘ＋１０ｙ＝ｍとおくと　ｙ＝－ｘ＋ｍ／１０　です。これは傾きがー１、ｙ切片がｍ／１０の直線です。この直線がＣと交点（あるいは接点）を持ちながら上下にスライドすると考えたとき、ｙ切片が最大になるのはどういうときでしょう？

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

まず、 (x - 3)^2 + (y - 2)^2 ≦ 1 という図形が何かを把握する。
これは、円の内部を表す。
その図形をちゃんと方眼紙に書いてみる。
幸いなことに、性の場合と負の場合という場合分けが入らないのでちょっと楽。

1) は、原点からの距離（の自乗）原点から一番遠い点を探す。
2) y/x = 1 のグラフを方眼紙に書いてみる。（言い換えると、y = x）
　　同じように y/x = 2 のグラフを同じ方眼紙に書いてみる。（言い換えると y = 2x）
このあたりで、y/x = 一定の直線に見当がつくはず。y/x が最大になる直線を書いてみる。
3) 同じように 10x + 10y = 一定（言い換えると、y = (一定 - 10x)/10 のグラフを書いてみる。

以上、解説。