次数と因数の数

質問

関数のもつ因数の数と、その関数の次数は一致するのですか？
また一致するのは何故ですか？

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

質問内容をきちんと定義すると、n 次の多項式は、n 個の（１次式で表される）因数に分解できるか？ ということでいいですか？

これは、複素数の範囲では正しいですというのが、まずは、回答です。
たとえば、(x^2 + 1) は、実数の範囲では因数分解できません。

これは、「代数学の基本定理」というものと、因数定理で説明できる内容です。
代数学の基本定理は、「n 次の複素係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ」という定理です。
（証明はちょっとやっかい）

平たくいえば、n次式＝０と置いた方程式は、（複素数の範囲まで広げれば）必ず解を持つという意味です。
一方で、因数定理は高校で出てくると思いますが、
n次式 = 0 と置いた方程式が、x = a を解として持つなら、この n 次式は (x - a) という因数を持つという定理です。

これを併用して、

n次式 = 0 とおいた方程式は必ず解を持つ。それを、a とおく
n次式 = (x - a)(n - 1次式）と因数分解できる。

n - 1次式 = 0 とおいた方程式は、必ず解を持つ。それを、b とおく。
n - 1次式 = (x - b)(n - 2次式）と因数分解できる。

最初から見れば、
n 次式 = (x - a)(x - b)(n - 2次式）と因数分解できる。

これを繰り返すと、n 次式が n 個の因数に分解できることがわかります。

もうすこし厳密に証明しようとすれば、数学的帰納法で、

１次式は１個の因数を持つ。
n-1次式が必ずn-1個の因数を持つと仮定すると、
n次式は、（上述のないようから） (x - a)(n - 1次式）に因数分解できる。
仮定より、n - 1次式は、必ず、n - 1個の因数を持つから、n次式はn個の因数を持つ。
という論法になります。

お礼

ありがとうございました