2変数関数のマクローリン展開に関する質問です。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1153469631
の4番の問題で
f(x,y) = e^x*ln(1+y)
を3次展開までした答は
f(x,y )≒ y + xy + (1/2)x^2*y - (1/2)y^2 - (1/2)xy^2
となっていますが、自分の計算とは合いません。まちがいを指摘していただけたら幸いです。
f(x,y) = e^x*ln(1+y)
f_x = e^x*ln(1+y) :f_x(0,0) = 0
f_y = e^x/(1+y) :f_y(0,0) = 1
f_xx = e^x*ln(1+y) :f_xx(0,0) = 0
f_xy = 1/(1+y)e^x :f_xy(0,0) = 1
f_yy = -e^x/(1+y)^2 :f_yy(0,0) = -1
f_xxx = e^x*ln(1+y) :f_xxx(0,0) = 0
f_xxy = e^x/(1+y) :f_xxy(0,0) = 1
f_xyy = -e^x/(1+y)^2 :f_yyy(0,0) = -1
f_yyy = 2e^x/(1+y)^3 :f_xyy(0,0) = 2
f(x,y) ≒ y + (1/2)(2xy - y^2) + (1/6)( 3x^2y - 3xy^2 + 2y^3 )
= y + xy - (1/2)y^2 + (1/2)x^2y - (1/2)xy^2 + (1/3)y^3.
---------------
使った公式
f(x,y)
= f(0,0) + (1/1!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )f(0,0)
+ (1/2!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )^2*f(0,0)
+ (1/3!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )^3*f(0,0) + ……
= f(0,0) + f_x(0,0)*x + f_y(0,0)*y
+ (1/2)( f_xx(0,0)*x^2 + f_xy(0,0)*2xy + f_yy(0,0)*y^2 )
+ (1/6)( f_xxx(0,0)*x^3 + f_xxy(0,0)*3x^2y
+ f_xyy(0,0)*3xy^2 + f_xxx(0,0)*y^3) + ……
