2変数関数のマクローリン展開に関する質問です。

質問

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1153469631
の4番の問題で
　　f(x,y) = e^x*ln(1+y)
を3次展開までした答は
　　f(x,y )≒ y + xy + (1/2)x^2*y - (1/2)y^2 - (1/2)xy^2
となっていますが、自分の計算とは合いません。まちがいを指摘していただけたら幸いです。

f(x,y) = e^x*ln(1+y)
　　f_x　 = e^x*ln(1+y)　 :f_x(0,0)　 =　0
　　f_y　 = e^x/(1+y)　　 :f_y(0,0)　 =　1
　　f_xx　= e^x*ln(1+y)　 :f_xx(0,0)　=　0
　　f_xy　= 1/(1+y)e^x　　:f_xy(0,0)　=　1
　　f_yy　= -e^x/(1+y)^2　:f_yy(0,0)　= -1
　　f_xxx =　e^x*ln(1+y)　:f_xxx(0,0) =　0
　　f_xxy =　e^x/(1+y)　　:f_xxy(0,0) =　1
　　f_xyy = -e^x/(1+y)^2　:f_yyy(0,0) = -1
　　f_yyy = 2e^x/(1+y)^3　:f_xyy(0,0) =　2

　　f(x,y) ≒ y + (1/2)(2xy - y^2) + (1/6)( 3x^2y - 3xy^2 + 2y^3 )
　　　　　　= y + xy - (1/2)y^2 + (1/2)x^2y - (1/2)xy^2 + (1/3)y^3.
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使った公式
　　f(x,y)
　　 = f(0,0) + (1/1!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )f(0,0)
　　 + (1/2!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )^2*f(0,0)
　　 + (1/3!)( x(∂/∂x) + y(∂/∂y) )^3*f(0,0) + ……
　　 = f(0,0) + f_x(0,0)*x + f_y(0,0)*y
　　 + (1/2)( f_xx(0,0)*x^2 + f_xy(0,0)*2xy + f_yy(0,0)*y^2 )
　　 + (1/6)( f_xxx(0,0)*x^3 + f_xxy(0,0)*3x^2y
　　 + f_xyy(0,0)*3xy^2 + f_xxx(0,0)*y^3) + ……

回答No.1

f272 · ベストアンサー

みたところ間違いはないようですね。リンク先が間違っています。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

info222_

>f(x,y) = e^x*ln(1+y)
>を3次展開までした答は
>　　f(x,y )≒ y + xy + (1/2)x^2*y - (1/2)y^2 - (1/2)xy^2
>となっていますが、自分の計算とは合いません。
>まちがいを指摘していただけたら幸いです。

答はまちがいです。
正しい答は
f(x,y )≒ y + xy + (1/2)x^2*y - (1/2)y^2 - (1/2)xy^2 + (1/3)y^3
です。

0612abcさんの答え
>f(x,y) ≒ y + (1/2)(2xy - y^2) + (1/6)( 3x^2 y - 3xy^2 + 2y^3 )
>　　　= y + xy - (1/2)y^2 + (1/2)x^2 y - (1/2)xy^2 + (1/3)y^3.
で合っています。

お礼

回答ありがとうございます。申しわけありませんがf272さんの方が早かったのでBAにいただきました。