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物理学の質問です。大至急お願いします。
- 幅aのうすい平らな導体板に強さIの電流が流れている。この問題の解答に『板の中心Oからの距離がrの点Pにおける磁場を求める。Oからsの距離にある幅⊿sの部分に流れる電流I⊿s/a…(省略)』とありました。電流素片は単純にI⊿sではいけないのでしょうか？たとえば、円形の回路に電流を流し、回路の中心軸上の磁束密度を求めるときはI⊿sですよね。もし、I⊿s/aを採用するなら、円形はI⊿s/2πrではないのでしょうか？
- |t'+Z' X'-iY'| |x'+iy' t'-z'| の行列が |(t+z)e^(-2a) (x-iy)e^(2ib)| |(x+iy)e^(-2ib) (t-z)e^(2a)| と等しいとき、t’、x’、y’、z’はどうなりますか？この時、虚数単位iは含まない形でお願いします。’は微分を表しているわけでなく、単純に区別するためにつけられたものです。
- F(x)=∫(0→x)e^(-t^2)dtとし、 lim(x→∞)F(x)=∫(0→∞)e^(-t^2)dt=√π/2である。 a.dF(x)/dxを求めよ。 →=e^(-x^2)でいいでしょうか？ b.∫(x→∞)e^(-t^2)をF(t)を用いて表せ。 →=lim(x→∞)F(x)-F(x)でいいでしょうか？ c.∫(0→∞)e^(-a^2 t^2)dt →=(1/a)√π/2でいいでしょうか？ d.∫(0→∞)t^2 e^(-t^2)dt →さっぱりわかりません。どうやって解いたらいいでしょうか？
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# 眠ってしまった... 2) 大文字・小文字の違いは無視し，「（行列式ではなく）行列として等しい」と解釈して解くなら，各成分同士が等しいとして解いていくしかありません． (1,1)成分同士を比較して t' + z' = exp(-2a) t + exp(-2a) z, …(1) (2,2)成分同士を比較して t' - z' = exp(2a) t - exp(2a) z, …(2) (1) + (2)より t' = cosh(2a) t - sinh(2a) z. (1) - (2)より z' = - sinh(2a) t + cosh(2a) z. # ただし # cosh(ξ) = {exp(ξ) + exp(-ξ)}/2, # sinh(ξ) = {exp(ξ) - exp(-ξ)}/2, # は双曲線関数とよばれる． # coshは「ハイパボリックコサイン」 # sinhは「ハイパボリックサイン」 # と読む． (1,2)成分同士を比較して x' - i y' = exp(i2b) x - i exp(i2b) y, …(3) (2,1)成分同士を比較して x' + i y' = exp(-i2b) x + i exp(-i2b) y, …(4) (3) + (4)より x' = cos(2b) x + sin(2b) y. (3) - (4)より y' = -sin(2b) x + cos(2b) y. 以上まとめて， t' = cosh(2a) t - sinh(2a) z, z' = - sinh(2a) t + cosh(2a) z, x' = cos(2b) x + sin(2b) y, y' = -sin(2b) x + cos(2b) y. 以下，蛇足． 行列として等しいってことは，行列式としても等しいわけで，行列式として等しいことから t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 が得られます．これはc = 1としたときのローレンツ変換(t,x,y,z)→(t',x',y',z')が満たすべき式であり，この問題の(t,x,y,z)→(t',x',y',z')はローレンツ変換であるとわかります．さらに， (x,y)→(x',y')は座標軸をz軸の周りに角度2b回転する変換になっています． また， β = tanh(2a) = sinh(2a)/cosh(2a) と置くと， cosh(2a) = 1/√(1 - β^2), sinh(2a) = tanh(2a)・cosh(2a) = β/√(1 - β^2) と表せるので， t' = (t - β z)/√(1 - β^2), z' = (-β t + z)/√(1 - β^2). これは，z軸正方向に速度βで動く座標系へのローレンツ・ブーストの式です． すなわち，この問題の(t,x,y,z)→(t',x',y',z')は 「x軸，y軸をz軸周りに角度2bだけ回転し，それをz軸正方向に速度β = tanh(2a)で運動させた座標系へのローレンツ変換」を表します．
お礼
全問について議論してくださり、ありがとうございました。 お仕事、がんばってください。
1) 幅aのキシメン状の電流Iを細切れにして幅Δsのソーメン状にしました． ソーメンの本数は N = a/Δs です． キシメン全体に電流Iが流れていたのですから，ソーメン1本に流れる電流は I/N = I Δs/a. > 電流素片は単純にI⊿sではいけないのでしょうか？ 上の説明から解っていただきたいのですが，この問題で考えているのは電流素片ではありません．電流素片をI Δsと表す場合，Δsは電流の方向に沿った長さです．しかるに，この問題のΔsは電流と垂直な幅です． # 添付図参照．
お礼
>この問題で考えているのは電流素片ではありません．電流素片をI Δsと表す場合，Δsは電流の方向に沿った長さです．しかるに，この問題のΔsは電流と垂直な幅です． なるほど。わかりました。 図まで添付していただきありがとうございました。
3) a. 微積分学の基本定理を用いると， dF(x)/dx = d/dx ∫[0,x] exp(-t^2) dt = exp(-x^2). > →=e^(-x^2)でいいでしょうか？ 正しいと思います． b. 被積分関数をタイプするのが面倒なので(苦笑)，省略して書くと， ∫[0,∞) = ∫[0,x] + ∫[x,∞) ∴∫[x,∞) = ∫[0,∞) - ∫[0,x] = √π /2 - F(x). > →=lim(x→∞)F(x)-F(x)でいいでしょうか？ 正しいのですが， lim[x→∞] F(x) = √π /2 と与えられているのでこれを使うべき． c. この問題，a > 0 という断りがありますよね． a > 0なら t' = a t と置いて，置換積分すると， dt' = a dt, t | 0 → ∞ ---+--------- t' | 0 → ∞ ∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt = 1/a ∫[0,∞) exp(-t'^2) dt' = (1/a) √π /2. > →=(1/a)√π/2でいいでしょうか？ a > 0 という断りがあれば正しいです． 断りがなければ， ∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt = (1/|a|) √π /2 (a ≠ 0). ∫[0,∞) exp(-a^2 t^2) dt = ∞ (a = 0). d. ∫[0,∞) exp(-k t^2) dt (k > 0) という積分を考えれば，前問の結果より ∫[0,∞) exp(-k t^2) dt = √(π/k) /2. この式の両辺をkで微分すると 左辺の微分 = d/dk ∫[0,∞) exp(-k t^2) dt = ∫[0,∞) ∂/∂k exp(-k t^2) dt = -∫[0,∞) t^2 exp(-k t^2) dt. 右辺の微分 = (√π /2) d/dk k^(-1/2) = -(√π /4) k^(-3/2). ∴∫[0,∞) t^2 exp(-k t^2) dt = (√π /4) k^(-3/2). この式でk = 1とすると， ∫[0,∞) t^2 exp(-t^2) dt = √π /4.
お礼
二度目の投稿ありがとうございます。 とてもわかりやすい説明でした。
お礼
仕事で疲れている中、本当にありがとうございます。 本日、受験があるため非常に助かりました。 とくに、ばねの問題のほうは過去問にもあったため、気持ちよく受験できそうです。