逆ラプラス変換

質問

（ω/s^2+ω^2)^2の逆ラプラス変換の解答を教えてほしいです
まだあまり理解しておらず詰ってしまうので解答を参考に類題に挑戦したいと思います

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>（ω/s^2+ω^2)^2
この書き方では駄目です。次のように括弧をつけて書くようにして下さい。
(ω/(s^2+ω^2))^2

多分、
F(s)=(ω/(s^2+ω^2))^2=(ω^2)/(s^2+ω^2)^2
　=1/(s^2+ω^2) -s^2/(s^2+ω^2)^2

と部分分数展開しても第一項の逆変換は変換表のsin(ωt)の変換公式を使えば
　f1(t)=sin(ωt)/ω
と求まるが第2項の逆変換は難しいかも知れない。

しかし第2項目の
　s^2/(s^2+ω^2)^2
についても微分の逆変換公式
　dG(s)/ds=L{-tg(s)}
で公式G(s)=s/(s^2+ω^2)を適用すれば求まる。

もし、微分の逆変換公式を忘れていたらLaplace変換の定義式をsで微分しても良い。
s/(a^2+ω^2)=L{cos(ωt)} なので
sで微分して
d/ds{s/(s^2+ω^2)}=d/ds∫[0,∞]cos(ωt)e^(-st)dt=L{-tcos(ωt)}
=1/(s^2+ω^2)-2s^2/(s^2+ω^2)^2

s^2/(s^2+ω^2)^2について解くと
s^2/(s^2+ω^2)^2=(1/2)/(s^2+ω^2)+(1/2)L{tcos(ωt)}
={1/(2ω)}L{sin(ωt)}+L{(t/2)cos(ωt)}
=L{(1/(2ω))sin(ωt)+(t/2)cos(ωt)}
となるのでs^2/(s^2+ω^2)^2の逆変換 f2(t)=(1/(2ω))sin(ωt)+(t/2)cos(ωt)
と求まる。

したがって、L^-1{F(s)}=f1(t)-f2(t) で逆変換が得られる。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました
理解して解くことができました

回答No.1

Tacosan

ふつ～はやらんが部分分数に分解してもできる.