ラプラス逆変換

質問

6s/(3s^2+1)^2　と　(2s-5)/(s(s^2-9))
のラプラス逆変換がわかりません。

解き方も含めてよろしくお願いします。

回答No.3

info222_

No.2です。

>補足の筆問の回答

ANo.2の 2) の解の方が一般的です。
特に双曲線関数を用いて逆変換を求めよと指示があれば双曲線関数を使います。

>補足の筆問の回答

双曲線関数sinh, coshの定義より,
sinh(3x) = (e^(3x) - e^(-3x))/2
cosh(3x) = (e^(3x) + e^(-3x))/2
これから
e^(3x)=cosh(3x)+sinh(3x)
e^(-3x)=cosh(3x)-sinh(3x)

この関係をANo.2の(答)の式に代入すれば(答)をsinh,coshで表すことができます。

すなわち
>L^-1{F(s)} =(5/9)-(11/18)e^(-3t) +(1/18)e^(3t) (t≧0)
=(5/9)-(11/18){cosh(3x)-sinh(3x)} +(1/18){cosh(3x)+sinh(3x)}
=(5/9)-(5/9)cosh(3x)+(2/3)sinh(3x) (t≧0) …双極線関数の(答)

2)の別解
ラプラス変換表の公式
　L{sinh(at)}=a/(s^2-a^2)　…(※1)
　L{cosh(at)}=s/(s^2-a^2)　…(※2)
を使う方法です。

F(s)=(2s-5)/(s(s^2-9))
=a/s +(bs+c)/(s^2-9)
=a/s +bs/(s^2-9) +c/(s^2-9)
a=lim(s→0) sF(s)=-5/(-9)=5/9
F(s)-(5/(9s))=-5/9/(s^2-9)+2/(s^2-9)
b=-5/9, c=2
ラプラス変換表の公式(※1),(※2)を使って逆変換すると
L^-1{F(s)}=(5/9)-(5/9)cosh(3x)+(2/3)sinh(3x) (t≧0)

＞No.1さん
大変失礼しました。これは撤回します。
>>ANo.1の2)は間違いです。確認してみてください。

2)の解答で合っていることを確認しました。

お礼

本当にありがとうございます。
次のテスト大丈夫そうです。
丁寧に答えてくださったのでベストアンサーを差し上げます。

回答No.2

info222_

1)
F(s)=6s/(3s^2+1)^2
L^-1{F(s)} = t sin(t/√3)/√3

2)
F(s)=(2s-5)/{s (s^2-9)}
=(5/9)*1/s -(11/18)*1/(s+3) +(1/18)*1/(s-3))

L^-1{F(s)} =(5/9)-(11/18)e^(-3t) +(1/18)e^(3t) (t≧0)

＞No.1さん
　ANo.1の2)は間違いです。確認してみてください。

補足

答えを見るとcosh と　sinh を用いているので
そこまでやってくれるとありがたいです。

回答No.1

Ae610

ラプラス逆変換をinvL{F(s)}で表すとする・・!

F(s) = 6s/(3s^2+1)^2 = (√3/3)・{2・(1/√3)・s/(s^2+(1/√3)^2)^2}
inv{6s/(3s^2+1)^2} = (√3/3)・tsin(t/√3)

F(s) = (2s-5)/(s(s^2-9)) = (2/3)・3/(s^2－3^2)－(5/9)・{s/(s^2－3^2)－1/s}
inv{(2s-5)/(s(s^2-9))} = (2/3)・sinh(3t)－(5/9)・{cosh(3t)－1}

計算間違いしてるかもしれないので一応検算してみて!

お礼

補足したあとすぐに解けました　ありがとうございます！！

補足

最初の方の二回目の（√3/3）～　までの
過程がわからないです。