答えはわかるのですが、どうかけばよいですか？

質問

よろしくお願いします。

問題は、
定線分BCを一辺とする三角形ABCの２辺AB,ACの垂直二等分線の交点の軌跡を求めよ。
です。

幾通りかの図を描いてみると
BCの垂直二等分線になるだろうとはわかったのですが、それに理由をつけるとなんと書けばよいでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

hisappy · ベストアンサー

ＡＢとＡＣの垂直二等分線の交点ということは、
三角形ＡＢＣの外心となるのでは？
細かい事つつけば二次元平面などの条件が必要ですけれど。

［補足：三角形ＡＢＣの外心って何？］
三角形ＡＢＣの三つの頂点を通る円の中心。
三角形ＡＢＣの"外"側に接している円の中"心"なので外心。
ちみに、同様に三辺の内側で接している円の中心は内心。

外心は、三角形を構成する任意の二辺の垂直二等分線の交点に現れます。
問題では任意の二辺にＡＢ、ＡＣを選択していますが、
選択する二辺をＡＢ、ＢＣにしても同様のことが言えます。

つまり、Ａの位置を平面上のどこにとろうと
その外心は、この場合ＢＣの垂直二等分線上に現れることになります。

…とはいうものの、これは「外心」の概念（？）を使って良い状況（習っている状況）での話。

無理なら、三頂点ＡＢＣと交点Ｄによって作られる
三角形ＤＡＢ、ＤＢＣ、ＤＣＡがそれぞれ二等辺三角形なのを利用して
二等辺三角形ＤＢＣの頂点となるＤはＢＣの垂直二等分線上にないと
三角形ＤＢＣが二等辺三角形にならないのを
うまいこと言えばよいのではないでしょうか。

お礼

外心が使えそうですね。
ありがとうございます。

回答No.1

Kules

一つは、
座標平面のBCの位置を定め、Aの位置をどのようにとっても
AB,ACの垂直二等分線の交点はBCの垂直二等分線上に来ることを言えば
かなり力尽くではありますが示せるでしょうね。
（少しでも楽になるよう、BとCはx軸またはy軸に対して線対称な位置におけばいいでしょう）

もうひとつとして、三角形の３辺の垂直二等分線は1点で交わる（これは定理かな？証明は不要な気が…）ことを
利用すれば、うまく説明できるかもしれませんね。

参考になれば幸いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

三角形の３辺の垂直二等分線は1点で交わる
が使えそうです。もう一度考えてみます。