以下の式の変形が分かりません

質問

こんにちは、質問させていただきます。
数学で以下の式の変形が分かりません。

-√λ×t＋λ(exp(t/√λ)－１)

指数部をテイラー展開する

=-√λ×t＋｛１＋ｔ/√λ＋（１/2!)(ｔ/√λ)^2＋Ｏ(λ^-3/2)｝

=t^2/2+O(λ^-1/2)

よって、λ→∞の時、t^2/2となる

テイラー展開は分かるのですが、一行目の最後のマイナス１は二行目でどこへ行ってしまったか分かりませんし、二行目から三行目にはどうしてそのようになるのか分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

書き忘れられた -1 を補うと、二行目は、
= -(√λ)t + λ{ 1 + t/√λ + (1/2)(t/√λ)^2 + O(λ^-3/2) - 1 }　です。
(exp(t/√λ) - 1) に掛かっていた λ が {　} に掛かるのも、書き忘れていましたね。

{　} を開くと、1 と t√λ が ± で相殺できて、
= λ(1/2)(t/√λ)^2 + λ O(λ^-3/2) となります。
これの第一項は (1/2)t^2、第二項は O(λ^-1/2) ですから、三行目になりますよね。

お礼

ああ！おっしゃる通り、expにかかるはずのλがないですね！
参考書にも書いてなかったのですが、これくらいは自分でも気がつかないとだめですよね。
なるほど、１以外にもt√λが相殺されるから三行目の式になるのですね、よくわかりました！

ご丁寧に解説していただき本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#152422

単なる誤植でしょう。2行目は

=-(√λ)×t＋λ｛１＋ｔ/(√λ)＋（１/2!)(ｔ/(√λ))^2＋Ｏ(λ^(-3/2))－１｝

が正しくて、これなら

=(t^2)/2+O(λ^(-1/2))

につながります。

お礼

回答ありがとうございます。

大変お恥ずかしいのですが、その正しい式から最後の式にどうしたらなるのか分かりません。再度のお願いで申し訳ないのですがよろしければ説明していただけませんでしょうか、お願い致します。

回答No.1

alice_44

書き忘れでしょう。
その -1 と、２行目 { } 内の 1 とが相殺するから、３行目になるのです。
書かれてある通りの２行目では、λ→∞ の時 与式→∞ になってしまいます。

お礼

ありがとうございます。
一行目から二行目の変形は分かりました。

また、おっしゃる通り二行目では-√λの部分があるのでλ→∞で収束しないですよね。
そこで、三行目の変形をしているのですが、どうして二行目から三行目になるのかよくわかりません。

再度のお願いで恐縮なのですが、よろしければ説明していただけませんでしょうか、お願い致します。