三平方の定理について(問題です）

質問

画像に載っている四角錐A-EFGHの全ての辺の長さの合計が知りたいのですが、AGの長さだけどうしても分かりません。

解説には　AF二乗 +FG二乗=AG二乗　となっているのですが、この公式は、角度の1つが90°じゃないと使えないと思ったのですが、違うのでしょうか？（当方数学があまり得意ではないので…）

是非よろしくお願いします。

（二乗の部分が見にくくてすみません）

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

これ、三次元座標での距離あるいは直線の長さについての基礎なので、覚えておいた方がよいですね。
数学だけでなく、高校や大学の物理でしょっちゅう出てきます。

まず、地をはっている正方形ＥＦＧＨに注目してください。
そして、この正方形を右にも左にも横方向に、ぱーっと広げた無限の広さの平面を考えます。
この無限の広さの平面をＳと呼ぶことにします。
Ｓに対して、ＡＥは真っ直ぐ立っていますよね。
いわば、ＡＥは、Ｓという地面に真っ直ぐ立てた棒です。
それは、「ＡＥが平面Ｓに対して垂直」だということです。
線に対して線が垂直ではなく、面に対して線が垂直なのです。
つまり、それは、Ｓ内においてＥを通る直線（Ｅを通りＳに沿った直線）を引いたとき、
その直線は必ずＡＥと垂直であるということです。

以上のことから、ＧＥはＡＥと垂直であることがわかります。

次に、△ＧＦＨ　を考えて　ＦＨ　についての三平方の定理は、
ＦＨ^2　＝　ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2
ですから、
ＦＨ　＝　√（ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2）
ですよね。

ところが、ＦＨ＝ＧＥ　なので
ＧＥ　＝　√（ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2）　・・・（あ）

さらに　△ＧＡＥ　を考えると、これは上の説明から直角三角形だということがわかっているので、
ＧＡ^2　＝　ＧＥ^2　＋　ＡＥ^2
ところが、ＡＥ＝ＧＣ　なので、
ＧＡ^2　＝　ＧＥ^2　＋　ＧＣ^2

（あ）を代入すると、
ＧＡ^2　＝　｛√（ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2）｝^2　＋　ＧＣ^2
　＝　ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2　＋　ＧＣ^2　・・・（い）
となります。

Ｇを起点にして、横、縦、高さ、すなわち、ＧＦ、ＧＨ、ＧＣ　を　ｘ、ｙ、ｚ　と置き、
ＧからＡまでの距離を　Ｌ　と置くと、
（い）は、
Ｌ^2　＝　ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2
と書き直すことが出来ます。

当然、
Ｌ　＝　√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）
です。

この式を眺めてみると、平面（二次元）の中の直角三角形の概念から飛び出して、三次元での点と点との距離は、
斜めの距離　＝　√（ｘ方向距離の２乗　＋　ｙ方向距離の２乗　＋　ｚ方向距離の２乗）
あるいは日本語で書けば
斜めの距離　＝　√（横方向距離の２乗　＋　縦方向距離の２乗　＋　高さ方向距離の２乗）
であることがわかります。
結局のところ、２乗の項が２つから３つに増えただけですよね。
これを知っていると、ＧＡ（ＡＧでもよいですが）の長さが
√（ＧＦ^2　＋　ＧＨ^2　＋　ＧＣ^2）
であることが、瞬間的にわかります。

繰返しになりますが、これ、いろんなことに応用が利く基礎なんです。
今日、しっかり覚えましょう。

お礼

お優しい解説ありがとうございます！
ちゃんと理解してみると、色々と使えそうですね！是非覚えたいと思います。立体図形って苦手なので助かりました。ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

「四角錐」なのですか？
ならば、「角度の1つが90°じゃない」のかも…。

でも「解説」の「AF二乗 + FG二乗 = AG二乗」を見るかぎり、「直方体」らしい。
「直方体」ならば、AF を含む側面に対して稜 FG は直交しますから…。

さて、どちら?

補足

問題分にきちんと「四角錐A-EFGH」とあるので、形は四角錐で合ってると思います。

回答No.4

Mandheling

90度ですが・・・
感覚的に90度が感じられないかもしれませんね
実際に図と同じものを作って測ってみてはいかがでしょうか？
たとえば、豆腐で作って分度器で測る見たいな

お礼

確かに自分の目で確認すれば感覚的に納得出来ますね！
ありがとうございます。
今度試してみます

回答No.2

bara2001

角ＡＦＧは９０度ですよ。
解説のとおりです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

itaitatk

AGはルート３です
四角形の対角線は一辺が１なのでルート２
ルート２の二乗＋１の二乗＝３→AGルート３
１が５本
ルート２が２本
ルート３が１本
５＋ルート２＋ルート３

お礼

あ、質問分で誤解を生んでしまったようですみません。

AGがルート3というのは解説を読んで分かったのですが、どうしてルート3になるのかが分からず、それをお聞きしたかったのです。

ですが、回答はありがとうございます。