この証明をしていただきたいです。

質問

「△ABCの内心をIとし、BIとCAの交点をP、CIとABの交点をQとする。このとき、QP//BCならばAB＝AC」
というのは真でしょうか？また、真ならば証明をしていただきたいです。
自分でも考えたのですができませんでした。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

BPは∠Bの二等分線ですから
AP:CP=BA:BC (1)
になります。(△BAPと△BCPの面積の関係からわかる)

同様に
AQ:BQ=CA:CB (2)

QP//BCならば
AP:PC=AQ:QB (3)
となりますが、(3)に(1),(2)を代入すると
BA:BC=CA:CB
となります。
AB*BC=BC*AC
AB=AC
が示せます。よって質問にある命題は真です。

また、(1)(2)にAB=ACを代入すると(3)が導けますので逆も真です。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

askaaska

三角形ABCの中心がIということは

三角形ＩAB、三角形ＩAＣ、三角形ＩＢＣは二等辺三角形になる。
ところで、PQとCBが平行なので角PQCと角BCQは一致。
ところで、PQとCBが平行なので角QPBと角CBPは一致。
さらに三角形ＩＢＣは二等辺三角形なので
角PQCと角BCQ、角QPB、角CBPが一致
このことから三角形IPQも二等辺三角形であることが分かる。

三角形IPQ、三角形ＩＢＣが二等辺三角形であるので
IQ=IP、IB=IC
角PIC、角QIBが対象角で等しいことから
三角形IPCと三角形IQBは合同である。

このことより角QBIと角PCIは一致。

角ABCと角ACBについて
角ABC = 角QBI + 角CBP
角ACB = 角PCI + 角BCQ
それぞれが等しいので
角ABC = 角ACB

角ABC = 角ACBならば三角形ABCは二等辺三角形である。
よってAB=AC

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、Iは内心なので、IA、IB、ICが等しいとは言い切れないですよね。