対数関数の微分と三角関数の微分の問題

質問

以下2点、教えていただきたいのですが。

１．最初の問題の解の、e^(logx+1)がなぜexになるのかわかりません。

２．後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが、なぜ、残り二つの等号のように変形しなければならないのでしょうか。次の変形まではわかるのですが、最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。

基礎力不足で申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

１．
ａ×ａ×ａ×ａ×ａ　＝　ａ^5
（ａ×ａ）×（ａ×ａ×ａ）　＝　ａ^2　×　ａ^3
よって、
ａ^5　＝　ａ^2　×　ａ^3
つまり
ａ^(2+3)　＝　ａ^2　×　ａ^3

同様に
ｅ^(logx + 1)　＝　ｅ^logx　×　ｅ^1
です。

次に、
logｘ　というのは、もともと
logｘ　＝　「ｘはｅの何乗ですか？」の答え
です。
つまり、
ｅ^logx　＝　ｅの『「ｘはｅの何乗ですか？」の答え』乗　＝　ｘ
です。
わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
ｅ^logｘ　＝　Ａ
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取ると
log（ｅ^logx）　＝　logＡ
logｘ・logｅ　＝　logＡ
logｘ・１　＝　logＡ
logｘ　＝　logＡ
ｘ　＝　Ａ

以上のことから、
ｅ^(logx + 1)　＝　ｅ^logx　×　ｅ^1
　＝　ｘ　×　ｅ
　＝　ｅｘ

２．
＞＞＞後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが
おっしゃるとおりです。

＞＞＞最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。
（sin^2ｘ　－　cos^2ｘ）／（sinｘ　－　cosｘ）^2
分母と分子に　（sinｘ　＋　cosｘ）^2　をかけて
　＝　（sin^2ｘ　－　cos^2ｘ）（sinｘ　＋　cosｘ）^2／｛（sinｘ　－　cosｘ）^2（sinｘ　＋　cosｘ）^2｝
　＝　（sin^2ｘ　－　cos^2ｘ）（sinｘ　＋　cosｘ）^2／（sin^2ｘ　－　cos^2ｘ）^2
約分して
　＝　（sinｘ　＋　cosｘ）^2／（sin^2ｘ　－　cos^2ｘ）

お礼

詳しくご説明いただきありがとうございました。しかし、わかりません。

１．
ｅ^logx　＝　ｅの『「ｘはｅの何乗ですか？」の答え』乗　＝　ｘ
です。←わかりません。

わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
ｅ^logｘ　＝　Ａ
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取ると←「自然対数を取る」という意味がわかりません。なぜこのような処理をするのか。以下も従ってわからないです。

log（ｅ^logx）　＝　logＡ
logｘ・logｅ　＝　logＡ
logｘ・１　＝　logＡ
logｘ　＝　logＡ
ｘ　＝　Ａ

２．最後の変形は必要ないんですか。
なぜ変形しなければいけないんでしょうか。

補足

自然対数を取るとは単純に両辺にlogを付ければいいんですね。

回答No.3

Knotopolog

＞１．最初の問題の解の、e^(logx＋1)がなぜexになるのかわかりません。

ここで用いている対数は，自然対数（底が e ）なので，e^(logx＋1) ＝ ex となるのです．

＞２．後の問題の解は(sinx＋cosx)/(sinx－cosx)で終わっていいように思うのですが、なぜ、

y'＝(sinx＋cosx)/(sinx－cosx)

微分は，この式で終わりで正しいのです．この方が簡単な式なので，本当は，ここで微分は終わりです．何故，後の２つの式があるのか，理由は分かりませんが，画像の式では，単に，分子分母へ，(sinx－cosx) を掛けた式と，(sinx＋cosx) を掛けた式が書いてあるに過ぎません．

お礼

ご回答ありがとうございました。
２はy'＝(sinx＋cosx)/(sinx－cosx)までで終わって良いのですね。

e^(logx＋1) ＝ ex
やっとわかりました。先が思いやられます。

回答No.1

Tacosan

1. log の定義は?
2. ほんとうにそこで止まっているなら (sin x + cos x)/(sin x - cos x) でも十分だと思う. ただし, そこで止めるべきなのかどうかは不明. tan に直す方がいいのかもしれない.

お礼

ご回答ありがとうございました。