多項式の係数の和に関して。ついでに双子素数| OKWAVE

教えて下さい。多項式の係数の和に関して

初めにある関数を作りますもとになるのが y=1/2*x*(x+1) というガウスが見つけた１からxまでの和を表す式です。この式を b1=1/2*a*(a+1) b2=1/2*b1*(b1+1) b3=1/2*b2*(b2+1) b4=1/2*b3*(b3+1) ・・このように前の結果をｘに代入していく関数を考えます。aは任意の数を代入しますａ＝1の場合 b1=1 b2=1 b3=1 b4=1 ・・　　　　　　←ずっと1になります。ａ＝2の場合 b1=3 b2=6 b3=21 b4=231 ・・ａ＝3の場合 b1=6 b2=21 b3=231 b4=26796 ・・ａ＝4の場合 b1=10 b2=55 b3=1540 b4=1186570 次にはじめに戻って b2、b3をaを使って表すと b1=1/2a^2+1/2a b2=1/8a^4+2/8a^3+3/8a^2+2/8a b3=1/128a^8+4/128a^7+10/128a^6+16/128a^5+25/128a^4+28/128a^3+28/128a^2+16/128a b4=1/32768a^16+・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ａ＝1の場合 b1=1 b2=1 b3=1 b4=1 なので右辺の係数の和が必ず1になります（実際足しても1になります）なぜ1になるのか教えてくださいちなみにこの式から双子素数を生み出す式ができます。ちなみにこの関係を僕はガウスカオスの関係と呼んでます。

多項係数の和が等しくなるような整数値の順列

　a1,a2,a3,a4,a5,a6; b1,b2,b3,b4,b5,b6 を正の整数とします。　a1+a2+a3+a4+a5+a6=n かつ a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=2011 ・・・・(A)　のときの多項係数の和は　　Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) 　　　（Σは条件(A)での和。）で表せます。　ここで b1+b2+b3+b4+b5+b6=n かつ b1+2b2+3b3+4b4+5b5+6b6=S ・・・・(B) としたとき　　Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) = Σn!/(b1!b2!b3!b4!b5!b6!)　　　・・・・☆　（左辺のΣは条件(A)での和。右辺のΣは条件(B)での和。）となるようなbiの順列(b1,b2,・・・,b6)はaiの順列(a1,a2,・・・,a6)を反転させたもの（ (b1,b2,・・・,b6)=(a6,a5,・・・,a1) ）だけでしょうか。　或いは式☆を満たしSを最小とするbiの順列はaiの順列を反転させたものと言えるでしょうか。　実はこの質問は、既に閉められましたが下記の質問を考えているときに生じた疑問です。 http://okwave.jp/qa/q6886850.html （「確率が０以上」の部分は　確率が0より大きいに読み替えますが。）　サイコロをn回振ったときに出た目の合計が2011になる確率は　　Pn=Σ(1/6)^n・n!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) 　　　（Σは条件(A)での和。）となり、対称性から (b1,b2,・・・,b6)=(a6,a5,・・・,a1) としたとき、条件(B)の下での確率がPnに等しくなることが分かり、上記のお尋ねしたことが言えれば、最小のSは 7n-2011 (336≦n≦574), 2011(575≦n≦2011) になるのではと予想しています。（n=336,337のとき最小のSが7n-2011となることは確認しました。）　手がかりだけでも結構です。　優秀な回答者の皆様からお教え頂ければ幸いです。

多変数多項式の係数の求め方

y 　= a0 + a11*x1 + a12*x1^2 + a13*x1^3 + ・・・ + a21*x2 + a22*x2^2 + a23*x2^3 + ・・・　　　　　・　　　　　・上記のような多変数多項式の各係数をエクセル2007で求めようとしているのですが、やり方がわかりません。単変数や1次の多変数の係数は、LINEST関数や回帰解析ツールを使えば、求められることが分かったのですが、多変数多項式の各係数はどのようにして求めるのでしょうか。どなたかご教授いただけると助かります。

素数の逆数和についの証明

素数の逆数和が無限大に発散することを、自然数の逆数和が無限に発散することの考えを用いて示したいです。以下の証明で２点ほど分からない部分があります。＾は乗数の意味です。文中の(1)右辺を展開すると自然数の逆数和になるというのがどこから判断できるのかという点と、(2)オイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x はどのような公式なのか。がよく分かりません。証明は下記になります。無限等比級数の公式より、 -1<x<1のとき初項１、項比 x の無限等比級数は Σ x^n = 1/(1 - x) となりました。ここで x に素数の逆数を入れていくと 1/(1-1/2) = 1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + … 1/(1-1/3) = 1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + … 1/(1-1/5) = 1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + … 1/(1-1/7) = 1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + … のようになります。これらを辺々かけあわせると、 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = (1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + …) × (1/3^0 + 1/3^1 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4 + …) × (1/5^0 + 1/5^1 + 1/5^2 + 1/5^3 + 1/5^4 + …) × (1/7^0 + 1/7^1 + 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + …) × … となります。ここで右辺を展開すると、 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + … となり、これは自然数の逆数の和です。これは無限大になりましたね。つまり U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … = ∞ なんですね。ここでオイラーが使用した公式は 0 ＜ x ≦ 1/2 のとき 1/( 1 - x ) ≦ 10^x です。これを利用すると、 U = 1/(1-1/2) × 1/(1-1/3) × 1/(1-1/5) × 1/(1-1/7) × … ≦ 101/2+1/3+1/5+1/7+… Uは無限大なのでそれより大きい 101/2+1/3+1/5+1/7+… も無限大となり、 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … つまり素数の逆数の和も無限大になるわけです。以上が素数の逆数和が無限に発散することの証明です。もしよろしければ、よろしくお願いします。

微分係数の定義とは

以下の問題の解き方がわからなくて困っています。関数f(x)=x^3+1における微分係数を、微分係数の定義に従って求めよ。これは、まず微分を行い、f'(x)=3x^2を導けばいいのでしょうか？その後、xにaを代入して、f'(a)=3a^2とすれば、その後は、どう解けばいいのでしょうか？わかるかた、よろしくおねがいします。

Maximaの複数係数の代入・置換について

たとえば、f(x)=(x^3+a)^2-(x^3+b)^3の展開は、expandですぐできます。ここで係数a,bがたとえばa=c+d^2+e^3, b=(f-3)^2+(5g+6)^3のように長い式の場合、式をスッキリさせるためf(x)を上のように表し、a,bを別に定義し、それをf(x)の展開式の結果に反映、すなわちf(x)をc,d,e,f,gの係数で表したいのですが、何か方法はないでしょうか。substという関数でaかbの1個ならできるのですが、複数個はできませんでした。

多項式近似の係数をセルに抜き出したい。

以前以下のような質問がありましたが、線形近似だけではなく、多項式近似の y = ax^2 + bx + c　のａ、ｂ、ｃをセル上に抜き出したいのですが、関数で対応できるでしょうか？もし別のソフトで可能であれば、ソフト名を教えてください。＝＝＝＝以下、過去の質問から引用＝＝＝＝＝＝エクセルのグラフには、近似曲線を表示する機能がありますが、その近似曲線の係数を参照元にして、セル上の関数計算をしたいと思っています。例えば、線形近似ならば、　ｙ＝ ○○○ｘ＋ ●●● という式をグラフ上に表示できるわけですが、この係数の ○○○や●●●を他のセルから参照したいんです。グラフの元になる数値を変更した場合、リンクして変わるようにしたいので、手入力の転記では困るのです。もし可能でしたら、ご教授ください。

2次不等式の解から係数決定 : a<0って要る？

2次不等式 ax^2 + bx + 4 > 0 の解が -1/2 < x < 4 であるとき、定数 a, b の値を求めよ。・・・という、2次不等式の解から係数決定の問題について質問です。まず、本に載っている解答を書きます。 ################################################## 題意を満たすための条件は、2次関数 y = ax^2 + bx + 4 のグラフが、-1/2 < x < 4 の範囲でx軸より上側であることである。すなわち、このグラフが上に凸の放物線で、2点(-1/2, 0), (4, 0) を通ることである。したがって、 a < 0 ・・・(1) a(-1/2)^2 + b(-1/2) + 4 = 0 ・・・(2) a・4^2 + b・4 + 4 + 0 ・・・(3) (2)から a - 2b + 16 = 0 (3)から 4a + b + 1 = 0 この2式を連立して解くと、 a = -2, b = 7 これは(1)を満たす。■ ################################################## 自分の場合、いきなりax^2 + bx + 4 > 0 のxに -1/2 と 4 を代入して、連立不等式を作って解き、a = -2, b = 7 を得ました。正直な話、上に凸か下に凸かなんて、まったく考えていませんでした。考えなくとも、式どおりに代入すれば、自ずと出てくるでしょうに・・・。ということで、この問題に「 a < 0 ・・・(1) 」の条件って本当に必要ですか？もし必要であるならば、「 a < 0 ・・・(1) 」の条件がなかった場合に起こりうる誤解答を教えてください。この問題を少々改変しても構いません。では、よろしくお願いします。

多項式の問題です。

多項式の問題です。 xの多項式4x^3-2x^2-9x+7をxの多項式Aで割ると、その商がBで余りがx+1となる。また、AとBの和は2x^2+4x-5である。このとき、AとBを求めよ。という問題なのですが、解答には、 A=2x^2+2x-2　B=2x-3 [題意から、Aは2次式、Bは1次式である。 AB=2(2x+3)(x^2+x-1), A+B=2x^2+4x-5] と書いてありました。どうしてAが2次式で、Bが1次式と言えるのですか？逆ではいけないのですか？申し訳ありませんが回答よろしくお願いします。

10次の多項式を求めるプログラムについて

ARMコア(32bit)を使ったCPUで多項式を求める演算をさせています(C)。 Y軸0-4095、X軸0-4095の範囲にプロットされる点が（整数値）11点で、非線形の点の集りです。多項式近似を使ってこの式を求め、求まった式に対してXに0～4095の値を代入し、4096個のY値を求めます。絶対条件として、0≦x≦4095の範囲では、接線の傾きは必ず0よりも大です。曲線式: y=a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + fx^5 + gx^6 + hx^7 + ix^8 + jx^9 + kx^10 算出方法は、11点の(x,y)をfloat型の配列変数を使って行列を作成し、ガウスの消去法→後退代入させて求めてます。この中でa～kの係数は、Windows上のCで同じソースで処理させたところ、ほぼ同一の結果が出ます。 Xの値を0から4095までひとつづつ代入して求めていくY値に対して、思った精度で結果が出ません。X値が大きい所で妙な計算結果が出ます。係数a～kを使い、エクセル上でYを計算した結果、期待通りとなります。例） X値エクセル結果 CPUでの結果期待値 2962 2525.434 2526 2525 2963 2526.543 2528 2527 2964 2527.652 2527 2527 ※2963⇒2964で接線の傾きがマイナスになる　→　おかしいべき乗の計算は、掛算で対処しています。 float型で10乗するような計算処理をすること自体、無謀なのでしょうか？　識者の方の意見をお伺いしたく思います。

グラフから係数を...

　こんばんは、早速、質問ですが　例えば２次関数 y=ax^2+bx+c (a≠0)の係数a,b,cが定まれば関数もしくはグラフが描けます。（そのような数学教育ソフトもたくさんあります。）　ここからが質問の趣旨です。その描かれたグラフをマウスで、クリックなりドラックなりして平行移動や（この場合b,cが変化します）下に凸ならば、鋭く、もしくは緩やかになったりと（この場合はaが変化します）グラフをいじくると、それに対応した係数がかえってくる。そのようなソフトってありますか？　多くのソフトですと、係数を代入してグラフが描かれますが、その逆のことです。おそらく任意に平行移動や鋭く緩やかなのでかえってくる係数のほうも、かなり半端な値になると思いますが（2.57553...とか）　よろしくお願いします。

FIRフィルタ零点から係数を求める。

FIRフィルタの係数の求め方がわかりません。測定した信号から特定次数の高調波をカットするフィルタを設計したいのですが、どのように計算したらよいのかわからず、困っています。ちなみに、タップ数は10と決まっています。カットしたい高調波は 1次調波・３次調波・５次調波・７次調波・・・という具合に、4～6こ程度あるので、単にBEFやBPFでは思ったような特性が得られません。また、Re-Im軸の単位円上から零点としたいｎ数の調波の座標（an,bn）を読み取り、 (x-a0-b0i)(x-a+Bi)(x-a1-b1i)… という式に代入し、xの0～2n+1乗までの係数を求めるという方法もあるようなのですが、こちらもよい特性は得られませんでした。よろしくお願いします。

解と係数の関係

　xの３次方程式 ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0 の３つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。というもんだいがあるのですが解答をみるとまず解と係数の関係を記す。つぎに証明に入り因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して恒等式として係数比較して。。。。。というながれがかいてあるのですが私は解答の方法を思いつけず、まず解と係数の関係を記す。 α＋β＋γ＝－b/a αβ＋βγ＋γα＝c/a αβγ＝－d/a これを変形して b=－a(α＋β＋γ) c=a(αβ＋βγ＋γα) d=－aαβγ としてはじめの３次方程式へ代入 ax^3-a(α＋β＋γ)+a(αβ＋βγ＋γα)-aαβγ=0 ここでx=α、β、γ を代入すると左辺＝０＝右辺となりこの方程式の解は x=α、β、γとわかるまたこの方程式は３次方程式なので解の個数は高々３つよってこの方程式の解はα、β、γのみというふうに書いたのですがどうなんでしょうか？この問題は解がα、β、γならば α＋β＋γ＝－b/a αβ＋βγ＋γα＝c/a αβγ＝－d/a が成立をしめすべきなのですがわたしの解答では α＋β＋γ＝－b/a αβ＋βγ＋γα＝c/a αβγ＝－d/a ならば解はα、β、γ を示してしまっていると思いますしかし「解がα、β、γのみ」と書いたので解がα、β、γのならば α＋β＋γ＝－b/a αβ＋βγ＋γα＝c/a αβγ＝－d/a という逆も示せているのではないかとも思います自分ではよくわかりませんのでどなたか教えていただきませんか？

多項式の最大公約数について

f(X)とg(X)の最大公約数が1であるとき，ある多項式a(X),b(X)があって， f(X)a(X)+g(X)b(X)=1 とすることができる．とあったのですが，これはなぜなのかを教えていただけますか？よろしくお願いします．

数論が専門の方へ、ピタゴラス数からピタゴラス多項式、ピタゴラス行列を考えると

正の整数の組 a,b,c がピタゴラスの定理 a^2 + b^2 = c^2 を満たすとき、組 (a,b,c) のことをピタゴラス数という。原始ピタゴラス数は、互いに素な正の整数 m,n に対し、一方が偶数の時 a = |m^2 - n^2| b = 2mn c = m^2 + n^2 により、得られることが知られている。また、(3,4,5)にある行列を掛けていくことによっても生み出されることも聞きました。上の話で、整数のところを、（整数係数もしくは複素数係数の）多項式、（整数成分もしくは複素数成分の）行列と変化させるとどういった理論が知られているのでしょうか？例えば、いわゆる原始ピタゴラス多項式と呼ばれるものは、互いに素な多項式 f(x),g(x) に対し、 a = |f(x)^2 - g(x)^2| b = 2f(x)g(x) c = f(x)^2 + g(x)^2 と表されたりするのでしょうか？

係数の捉え方

文字aに着目したときの、－３X^2ｙ／４　の係数をいえ、という問題がありました。この式の中にはaが含まれていないので、式自体は定数項だと考え、係数なし、と答えたのですが、解答では係数は－３X^2ｙ／４、となっており式自体が係数になっていました。どうしてaを含まないものをaの係数と言えるのでしょうか。宜しくお願いします。

恒等式であることの確認について

x^3-x^2+x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+cがxについての恒等式のとき、定数a, b, cの値を求めよ。という問題なのですが、これにx=0, 1, 2を代入してa, b, cの連立方程式を立て、それを解いてa, b, cの値を求める、という方法を用いる場合、何故最後に恒等式であることの確認が必要なのでしょうか？参考書だと、まず与式の右辺に求めたa, b, cの値を代入してから整理し、それが与式の右辺と等しいから、この与式は恒等式である、とわざわざ確認しています。問題文であらかじめ「恒等式のとき」と条件を与えているのに、どうしていちいち確認するのでしょうか？また、この確認がなかった場合は減点されてしまうのでしょうか？どなたか教えてください！

x以下の双子素数の個数

素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。この部分には、いろいろな考え方がありますが、例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。 (x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、 1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2 と考える事ができます。すると、これを積分した、 ∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。と、考えました。ところが、この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です) 一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、 x以下の双子素数の個数は、上の積分に、２Ｃをかけたもので見積もっています。なお、Ｃ＝Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。実際に、この２Ｃをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに２Ｃをかける事に意味はありそうなのですが、いったい、このＣという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか？あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか？なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。

相関係数、決定係数からの考察

説明変数x、被説明変数a,bがあったとします。そこで例えば xに対してaの相関係数、決定係数がそれぞれ0.5、0.6 xに対してのbの相関係数、決定係数がそれぞれ0.7,0.8 であったとします。この場合では、xはaよりもbの方をよりよく説明していると思うのですが、その理由は何でしょうか？相関係数、決定係数の値が高いから…というのは何となく違うというかすっきりしないです（間違ってるのかもですが）回答の程お願いします。

3つの数ABCの和は７５

3つの数ABCの和は７５ A＋８とB-5と２ｃ＋４が等しい ABCを求めよですが A+8=B-５＝２C+4 で A+B+C=75 までわかりますがこのあとどう解くんでしょうか

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