教えて下さい。多項式の係数の和に関して

質問

初めにある関数を作ります
もとになるのが
y=1/2*x*(x+1)
というガウスが見つけた１からxまでの和を表す式です。
この式を

b1=1/2*a*(a+1)
b2=1/2*b1*(b1+1)
b3=1/2*b2*(b2+1)
b4=1/2*b3*(b3+1)
・
・
このように前の結果をｘに代入していく関数を考えます。aは任意の数を代入します
ａ＝1の場合
b1=1
b2=1
b3=1
b4=1
・
・　　　　　　←ずっと1になります。
ａ＝2の場合
b1=3
b2=6
b3=21
b4=231
・
・
ａ＝3の場合
b1=6
b2=21
b3=231
b4=26796
・
・
ａ＝4の場合
b1=10
b2=55
b3=1540
b4=1186570

次にはじめに戻って
b2、b3をaを使って表すと
b1=1/2a^2+1/2a
b2=1/8a^4+2/8a^3+3/8a^2+2/8a
b3=1/128a^8+4/128a^7+10/128a^6+16/128a^5+25/128a^4+28/128a^3+28/128a^2+16/128a
b4=1/32768a^16+・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・
・
・
ａ＝1の場合
b1=1
b2=1
b3=1
b4=1
なので右辺の係数の和が必ず1になります（実際足しても1になります）

なぜ1になるのか教えてください

ちなみにこの式から双子素数を生み出す式ができます。
ちなみにこの関係を僕はガウスカオスの関係と呼んでます。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

bk が全て 1 になるのは、
n(n+1)/2 に n=1 を代入すると
値が同じ 1 になるから。

bk を a の多項式で表したとき
係数の和が 1 になるのは、
要するに、bk=1 と同じことで、
多項式に 1 を代入した値は
係数の和に等しいから。

ちなみに、今回の b∞ は、
-2＜a＜1 のとき b∞=0、
a=-2 または a=1 のとき b∞=1、
それ以外の a では発散
します。

残念ながら、カオスにはなりません。

回答No.2

alice_44

昨夜、馬鹿な回答を書いてしまったので
訂正をしに行ったら、既に締め切られて、
しかも、私の誤答にベストアンサーがついていた
ので、気になっていました。
類題のようなので、この機会に訂正させて下さい。

前回の F は、
0≦x≦1 のとき F(x)=0、
それ以外の x では定義されない
…です。

回答No.1

Tacosan

へ?
何が「1 になる」理由を問うている?