微分方程式です。

質問

yはxの関数で、
x - x(y')^2 + 2yy' = 0 を解くのですが、
yが、xの2次方程式だとあたりが付いたので、
y = ax^2 + b として、y = x^2 - 1/4 を導けましたが、
一般的には、どのように解けばよいのでしょうか？

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

z=y/x　と置けば、変数分離形になります。

お礼

回答ありがとうございます。
もう少し教えてください。
両辺をx≠0として、xで割り、1 - (y')^2 + 2zy' = 0とする。
変形し、z = (y'/2) - (1/2y') とすればいいのだと思いますが、
z = 1/2{(dy/dx) - (dx/dy)}
∬zdydx = ∬(y/x)dxdy = 1/2 (y - x)
ここからどうするのかわかりません。
jacobian でも使うのでしょうか？

回答No.4

nag0720

＞±log x = log √{(1+sin u)/(1-sin u)}
＞にならん？
＞sin u = ±(1-x^2)/(1+x^2)
＞になりそうだけど、

何を言いたいのか分かりませんが、

z = tan u
z^2 = sin^2u/cos^2u = sin^2u/(1-sin^2u)
より
sin u = z/√(z^2+1) = y/√(x^2+y^2)
となるので、これを代入すれば求める解になります。

回答No.3

alice_44

±∫dx/x =∫dz/√(1+z^2)
を解いたら、
z = tan u と置いて
±log x = log √{(1+sin u)/(1-sin u)}
にならん？
sin u = ±(1-x^2)/(1+x^2)
になりそうだけど、
y = xz = x tan u = x sin u / cos u =…

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

z=y/x とおけば、
y = xz
y' = z + xz'

x - x(z + xz')^2 + 2xz(z + xz') = 0
1 + z^2 - x^2(z')^2 = 0
z' = ±√(z^2+1) / x
∫(1/√(z^2+1))dz = ±∫(1/x)dx

これを解けば、
y = Cx^2 - 1/(4C)
となります。

お礼

どうもありがとうございました。
よくわかりました。