微分方程式

質問

(x-a)^2 + (y-b)^2=1 の微分方程式を求めよ。
x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=1より
y'(y-b)=(a-x)
これに、
y''=-1
３つの方式により、abとも除けないんです。
どこが間違っていますか？

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

(x－a)^2 ＋ (y－b)^2＝1 の両辺を x で微分すると

(x－a) ＋ (y－b)*y' ＝0 となります．この式より

y'＝－(x－a)/(y－b) が得られます．次に，

(x－a) ＋ (y－b)*y' ＝0 をもう一度，x で微分すると

1 ＋ (y－b)*y'' ＋ (y')^2 ＝ 0 となります．この式を変形すると

(y－b) ＝ －{1 ＋ (y')^2}/y'' が得られます．

一方，与式，(x－a)^2 ＋ (y－b)^2＝1 を変形すると

{(x－a)^2}/(y－b)^2 ＋ 1 ＝ 1/(y－b)^2 となり，更に，

{(x－a)/(y－b)}^2 ＋ 1 ＝ 1/(y－b)^2 と変形できます．

この式に，y'＝－(x－a)/(y－b) と (y－b)＝－(1 ＋ (y')^2)/y'' を代入すると

(y')^2 ＋ 1 ＝ 1/{－(1＋(y')^2)/y''}^2

(y')^2 ＋ 1 ＝ 1/{(1＋(y')^2)/y''}^2

(y')^2 ＋ 1 ＝ (y'')^2/{1 ＋ (y')^2}^2

となりますから，最終的に

{1＋(y')^2}^3 ＝(y'')^2

という微分方程式になります．

回答No.1

proto

(x-a)+(y-b)*y' = 0
をもう一度微分すると、積の微分より
　　1+y'+(y-b)*y'' = 0
となりません？

元の式(x-a)^2+(y-b)^2=1に
　　(x-a) = -(y-b)*y'
を代入すると(x-a)が消えて、さらに2階微分より
　　(y-b) = -(1+y')/y''
を代入すれば(y-b)が消せると思いますよ。