三角形の問題が分かりません

質問

三角形OABの重心をGとするとOG＝2 AG＝√5 BG＝3が成り立っている。辺OA、OBの長さとcos∠AOBを求めよ。

まずGは重心だからAG、BGを延長したとき対辺との交点をそれぞれP、Qとすると
AP＝3/2×√5、BQ＝9/2
OA＝x,OB＝yとし、∠AOB＝θとおくと三角形OAP、OBQに余弦定理を用いて
１;（3/2√5）^2＝x^2＋（1/2y）^2－xyCOSθ
２;（9/2）^2＝y^2＋（1/2x）^2－xyCOSθ
xyCOSθを消して
y^2－x^2＝36
と、ここで困りました。BG＝3を使ってないので、OGを延長したのと対辺との交点をRとして三角形ORA（ORB?）に注目すればいいかなと思ったのですがそのままではθが使えなくなります。またABの長さが分かりません。
まず初等幾何でとけるようにしてからベクトルでやりたいと思います。
着眼点など教えてください！

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

中線定理を使えば△OABの3辺は直ぐ出ますよね？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A%E5%AE%9A%E7%90%86

例えば辺OAですが、あなたの記号通りOAの中点をQと
して、△OGAに注目しますと
GO=2
GA=√5
GQ=(1/2)*BG = 3/2
であって、中線定理から
GO^2 + GA^2 = 2(GQ^2 + OQ^2)
OA = 2*OQ
ですのでOAはもう出ますね。

因みに中線定理は別にベクトルを使わなくても簡単に証明出来ますので
一度試して見てください。

お礼

ありがとうございました。