分子の次数の下げ方

質問

以前も同じような質問をしたのですが、また計算に詰まってしまいましたので質問させていただきます。
添付画像のように
G(s)=(Ds^2+Es)/(As^2+Bs+C)を変形して
G(s)=D/A+((AE-BD)s-CD)/(A^2s^2+As+AC)という形にして分子を1次下げました。
z変換するにはまだ分子にsがあるのでこれも消去したいのですが、ここからいろいろなパターンを試しましたがうまくsが消えてくれませんでした。
どうすればうまくsが消えるでしょうか？

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

アップロード図を見て、ビックリ。

その図では、
　{(AE=BD)s - CD}/A^2 = Ks+L
　s^2+(B/A)s+(C/A) = (s-s1)(s-s2)
に相当。

図でいえば、右辺最後の {(AE=BD)s - CD}/A^2 は余計ものです。
　　　　↓
> … (Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} を部分分数に分解。
>　　(Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} = M1/(s-s1) + M2/(s-s2)
　　　　↓
　　(Ks1+L)/(s1-s2) = M1
　　(Ks2+L)/(s2-s1) = M2

お礼

部分分数分解の方法を間違えていました。

https://docs.google.com/leaf?id=0BybzcgkkdVAaMDRjODQ1ZGMtYjYyMC00NGFmLWI5OWUtMTBhMjljOTgxNmEw&hl=en_US

このように計算すればよかったんですね汗
解決できました。ありがとうございます。

回答No.7

178-tall

> … (Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} を部分分数に分解。
>　　(Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} = M1/(s-s1) + M2/(s-s2)
　　　　　　　↑
両辺に (s-s1) を掛けて s → s1 とすれば、
　　(Ks1+L)/(s1-s2) = M1
同様にして、
　　(Ks2+L)/(s2-s1) = M2

2 単根なら、これでチョンだと思うけど…。

回答No.6

nag0720

画像を見ましたが、
間違いとは言えないですが、普通は分子のsも含めて部分分数分解します。

質問者さんの方法の場合、その続きを書くと、

As^2+Bs+C=0
の２解をα,βとして、

{(AE-BD)s-CD}/(A^2s^2+ABs+AC)
＝{(AE-BD)s-CD}/{A^2(α-β)}{1/(s-α)-1/(s-β)}
＝1/{A^2(α-β)}{{(AE-BD)s-CD}/(s-α)-{(AE-BD)s-CD}/(s-β)}
＝1/{A^2(α-β)}{{(AE-BD)(s-α)+(AE-BD)α-CD}/(s-α)-{(AE-BD)(s-β)+(AE-BD)β-CD}/(s-β)}
＝1/{A^2(α-β)}{{(AE-BD)α-CD}/(s-α)-{(AE-BD)β-CD}/(s-β)}

なお、上記の部分分数分解は２解が異なる場合です。

As^2+Bs+C=0
が重解αをもつ場合は、

{(AE-BD)s-CD}/(A^2s^2+ABs+AC)
＝{(AE-BD)s-CD}/{A^2(s-α)^2}
＝(1/A^2){{(AE-BD)(s-α)+(AE-BD)α-CD}/(s-α)^2}
＝(1/A^2){(AE-BD)/(s-α)+{(AE-BD)α-CD}/(s-α)^2}

お礼

1/{A^2(α-β)}{{(AE-BD)s-CD}/(s-α)-{(AE-BD)s-CD}/(s-β)}
↓
1/{A^2(α-β)}{{(AE-BD)(s-α)+(AE-BD)α-CD}/(s-α)-{(AE-BD)(s-β)+(AE-BD)β-CD}/(s-β)}

の変形の発想ができませんでした。それに部分分数分解が間違っていました。
今やっと部分分数分解のやり方を思いだして、計算できたので計算結果をアップして締め切りたいと思います。

回答No.5

Tacosan

係数が具体的な数値としてわかっているんだったら, それを先に入れてから計算した方が (ふつうは) はるかに簡単だと思うんだが... まあ, あえて茨の道を進みたいというのであればこっちには止める義理などさらさらないので勝手に突撃してくれ.

そして, なんでそんな風に計算するかなぁ.... 「部分分数分解」を理解できていないとしか思えない.

お礼

具体的な数値はあるにはあるのですが、桁数が多くて煩雑なので先に文字でやってしまってから代入した方が楽だと思ったのです。
みなさんの指摘の通りどうも部分分数分解がわかっていないみたいですね。。

回答No.4

alice_44

＞　解の公式からしか求めることができないためうまくいかないと思います。

それは、計算が面倒臭くて、自分がやるとミスしてしまうこと請け合い
という意味であって、内容が間違っているという意味ではないよね。
このふたつは、ちゃんと区別しておいたほうがいい。

＞　どうすればうまくsが消えるでしょうか？

にも出てきていた「うまく」の含意が問題かな。

それはともかく、二次方程式の解公式を使うとき、公式を使えば
因数分解で悩まなくていいから、むしろ楽！という受け止めかたができない
理由は、何なんだろう？　これは、深い謎だと思う。

補足

部分分数分解まではできるのですが、そこからの分子のsの消去がいまいちわからないのです。できるところまで計算した画像をURLに載せます。
https://docs.google.com/leaf?id=0BybzcgkkdVAaZDk2NWM2ZDUtOWMxNi00NTBiLWE5YjItYmY5NjQ3YTZmMzk4&hl=en_US

回答No.3

Tacosan

「零点を求めるということですが、解の公式からしか求めることができないためうまくいかないと思います。」って書いてるけど, この問題に関してはそれ以上考えようもないよ.

具体的な数値が入っているならともかく.

補足

数値を代入する以前に部分分数分解の後にどうすれば分子のsを消去できるかがあまりよくわかりません。↑に途中経過の計算式のURLを載せました。これが最終形だと数値代入しても分子のsは消去できないと思ったのですが・・・

回答No.2

178-tall

謹訂正。

・s^2+(B/A)s+(C/A) の零点 (s1, s2) を求める。
　　s^2+(B/A)s+(C/A) = (s-s1)(s-s2)

・(Ks+L)/{s^2+(B/A)s+(C/A)} = (Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} を部分分数に分解。
　　(Ks+L)/{(s-s1)(s-s2)} = M1/(s-s1) + M2/(s-s2)

補足

解答ありがとうございます。
零点を求めるということですが、解の公式からしか求めることができないためうまくいかないと思います。

回答No.1

178-tall

>G(s)=(Ds^2+Es)/(As^2+Bs+C)を変形して G(s)=D/A+((AE-BD)s-CD)/(A^2s^2+As+AC)という形にして分子を1次下げました。
>z変換するにはまだ分子にsがあるのでこれも消去したいのですが、…

・s^2+(B/A)s+(C/A) の零点 (s1, s2) を求める。
　　As^2+Bs+C = (s-s1)(s-s2)

・(Ks+L)/(As^2+Bs+C) = (Ks+L)/(s-s1)(s-s2) を部分分数に分解。
　　(Ks+L)/(s-s1)(s-s2) = M1/(s-s1) + M2/(s-s2)

…でいかが？