表現行列を求める問題で・・

質問

初歩的なんですが、次のような問題があります

U={ax^2+bx+c｜a,b,cは実数定数}
p(x)∈Uで、G(p(x))=dp(x)/dxとなるような変換を考える
このとき基底[(x+1)^2,(x-1)^2,1]に対するGの表現行列を求めなさい

教科書を見て、見よう見まねで次のように解いてみました

G((x+1)^2)=2x+2= 1/2*(x+1)^2-1/2*(x-1)^2+2
G((x-1)^2)=G(1)=1/2*(x+1)^2-1/2*(x-1)^2-2
G(1)=0*(x+1)^2-0*(x-1)^2+0*1
以上から三本のベクトル(1/2,-1/2,2)(1/2,-1/2,-2)(0,0,0)
これを並べて表現行列が完成

これであっているのでしょうか？
p(x)=ax^2+bx+cであって、
問題の基底の通りa(x+1)^2+b(x-1)^2+cではないのがどうもひっかかります。
間違いがありましたらどうぞ遠慮なくご指摘ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

toranekosan222 · ベストアンサー

p∈Uで、q=G(p)=dp(x)/dx としたとき、q∈Uであるかどうか。
p=ax^2+bx+c
q=G(p)=dp(x)/dx=2ax+b=0*x^2+(2a)x+b
であるので,q∈U,なおかつ、a=0となっている。

例題の基底を用いると、e1=(x+1)^2,e2=(x-1)^2,e3=1
p=ax^2+bx+c=a{(x+1)^2+(x-1)^2-2}/2+b{(x+1)^2-(x+1)^2}/4+c*1
=a(0.5e1+0.5e2-2e3)+b(0.25e1-0.25e2)+ce3
=(0.5a+0.25b)e1+(0.5a-0.25b)e2+(-2a+c)e3
で、Uの任意の要素はe1,e2,e3によってあらわせられる。

よって、
e1=(x+1)^2 → e'1=2(x+1)=0.5e1-0.5e2+2
e2=(x-1)^2 → e'2=2(x-1)=0.5e1-0.5e2-2
e3=1 → e'3=0 =0e1 + 0e2+0

よって、
e'1= |0.5 -0.5 2||e1|
e'2= |0.5 -0.5 -2||e2|
e'3= |0 0 0||e3|
が表現行列…

たぶん、あっていると思います。

お礼

＞＞例題の基底を用いると、e1=(x+1)^2,e2=(x-1)^2,e3=1
p=ax^2+bx+c=a{(x+1)^2+(x-1)^2-2}/2+b{(x+1)^2-(x+1)^2}/4+c*1
=a(0.5e1+0.5e2-2e3)+b(0.25e1-0.25e2)+ce3
=(0.5a+0.25b)e1+(0.5a-0.25b)e2+(-2a+c)e3
で、Uの任意の要素はe1,e2,e3によってあらわせられる。

なるほど！これを根拠にして
p(x)=a'(x+1)^2+b'(x-1)^2+c'としてもp(x)∈Uとなっても差し障りがないことが理解できました。
ありがとうございました！