べき乗計算について

質問

マグニチュードと地震エネルギーの関係で10^2.55=354.8と出てきましたが、この計算過程がわかりません。詳しくその流れを教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

10^2.55＝354.8　の計算には，常用対数を使います．

a＝10^2.55

とおいて，両辺の対数をとります．

log(a)＝log(10^2.55)

この log()は，常用対数（底が１０）です．
対数の性質から，上の式は，

log(a)＝2.55・log(10)＝2.55

log(a)＝2.55

となります．なぜならば，log(10)＝１　だからです．
log(a)＝2.55 から，a を計算するには，
昔は，もっぱら分厚い対数表を使いました．

a＝a1・a2・a3

と考えて，

log(a1・a2・a3)＝ 2.00＋0.50＋0.05
log(a1)＋log(a2)＋log(a3)＝ 2.00＋0.50＋0.05

として,

log(a1)＝2.00
log(a2)＝0.50
log(a3)＝0.05

とします．

ここで，まず，対数表の中の 2.00 を探します．そして，

a1＝100

を得ます．次に，対数表の中の 0.50 を探します．そして，

a2＝3.162

を得ます．また次に，対数表の中の 0.05 を探します．そして，

a3＝1.122

を得ます．そして，

a＝a1・a2・a3

から，

a＝100×3.162×1.122

a＝354.7766

となり答えが得られるのです．

実際の対数表の桁数が何桁だったかは忘れました．
今は，電卓があって便利ですが，以前は，計算尺もよく使いました．
当時では，手回しのタイガー計算機や，電動計算機は高級な計算機でしたので，滅多に使えませんでした．

回答No.4

girlkeeper

あまりお勧めできない方法ですが。

２．５５＝２＋０．５＋０．０５　なので
　１０^2.55＝１０^（２＋０．５＋０．０５）＝１０^2＊１０^0.5＊１０^0.05
（指数法則より。ただし　＊は乗算を表す。）

で、１０^2＝１００、　１０^0.5＝√１０＝３．１６２２・・・
もし、√１０＝３．１６２２・・・　を電卓で計算するのがご不満なら、「開平」を検索してみてください。

残る問題は１０^0.05　ですが、０．０５を２進法で表すと、０．００００１１００１１００１１・・・
となります。

最初の１１は、３２乗根と６４乗根を表します。
３２乗根は、平方根の平方根の平方根の平方根の平方根ですから、１０に上記した「開平」操作を５回行なうと出てきます（電卓を使っていいなら√を５回おすだけ）。計算すると１．０７４６・・・

６４乗根は３２乗根の平方根ですから１．０７４６・・・を開平すると、１．０３６６・・・

これを掛け合わせると、１．１１３９７・・・

つまり最初の１１は　１．１１３９７・・・

以下、００１１が繰り返し出てきますが、これは、１．１１３９７の１６乗根をかけ、更にその１６乗根をかけ、更にその１６乗根をかけ、・・・を繰り返すことを意味しています。

１６乗根は、平方根の平方根の平方根の平方根ですから、１．１１３９７に上記した「開平」操作を４回行なうと１．００６７６
更にこれに「開平」操作を４回行なうと１．０００４２１

本当はこれを永遠に繰り返すのですが、「永遠」は無理なのでこの辺で諦めることにします。

以上の結果をすべて掛け合わせると、
　１０^2.55≒１００＊３．１６２＊１．１１３９７＊１．００６７６＊１．０００４２１
　　　　　　≒３５４．７６７

となって、関数電卓を用いた場合に近い値が得られます。
桁数をもっと増やせば、もっと近い値になります。

回答No.2

girlkeeper

もし単純に計算方法をお尋ねなら、関数電卓に頼るのがベストでしょう。

私はまだ、Windowsｘｐしか持っていないのですが、
スタート→すべてのプログラム→アクセサリ→電卓
関数電卓になっていなければ　表示→関数電卓

１０　と置数して、左の真ん中あたりにある「ｘ＾ｙ」を押し、
２．５５　＝
とキーを押すと354.81338923357545843321870226449
と出てきます。

別の方法：
２．５５　と置数して、左の方にある「Ｉｎｖ」スイッチをＯＮにしてから
「ｌｏｇ」を押すと、354.81338923357545843321870226449
と出てきます。

回答No.1

nakamurarc

情報の出所を記載してくれると分かりやすいです。
おそらく，今回の東北地方太平洋沖地震(M9.0)が兵庫県南部地震(M7.3)に比べて地震エネルギーが354倍ということでしょう。
そのような前提で解説させていただきます。

マグニチュード(M)と地震エネルギー(E)の関係は次のように表せます。
log(E) = 4.8+1.5M
もしくは　E=10^(4.8+1.5M)
つまり，マグニチュードが1増えるとエネルギーは10^1.5倍となります。

東北地方太平洋沖地震(M9.0)と兵庫県南部地震(M7.3)を比較すると，マグニチュードの差は9-7.3=1.7となりますので，地震エネルギーは10^(1.5*1.7)=10^(2.55)=354.8 倍となるわけです。

補足

早速の回答ありがとうございます。
質問内容が上手く伝わらず申し訳ありませんが、エクセルや電卓を使わずに10^2.55がどのような計算で354.8になるのか途中の計算式が知りたかったわけです。お手数ですがよろしくお願いします。