個数の処理

質問

こんばんは。今、受験生やってます。
今ちょうど個数の処理の問題をやっていてわかわない問題があったので質問します。

　0,2,4,6,8から重複を許して四個の数字を選び、一列に並べて2000以上の整数を作る。
（１）整数は全部で何個できるか。
（２）数字がすべて異なるものは何個できて、そのうち、４の倍数は何個か。
（３）4260より小さいものは何個できるか。

回答でもヒントでもいいんでよろしくおねがいします。
最後に重複を許すこととはどういうことなんでしょうか？できればそれもおねがします。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

(1)
2000以上なので、千の位は０でなければどれでもよいわけです。
重複を許す（意味は#1さんの通り）ので、ある桁に注目したとき、0,2,4,6,8のどの数字を選んでもＯＫということになります。（先述のように千の位だけは2,4,6,8から選びます。）
ここまでＯＫですか？

よって、千の位の数字の選び方は４通り。
その他（百の位～一の位）までの数字の選び方はそれぞれ5通り。
したがって、求める個数は
4×5×5×5 = 500 個
となります。

(2)
2-1.数字がすべて異なるものは何個できるか。
これは、1度選んだものは使えないということです。
つまり、例えば千の位を2とすると、百の位は2を除く0,4,6,8の４つからしか選べないということですね。
千の位は0以外の4通り。
百の位は、千の位で選んだ数字以外の4通り。
十の位は、千と百の位で選んだ数字以外の3通り。
一の位は、千と百と十の位で選らんだ数字以外の2通りです。
ここまでＯＫ？

よって、求める個数は
4×4×3×2 = 96個
となります。

2-2.そのうち４の倍数は何個か
４の倍数の条件は、下2桁が４で割り切れることです。
0,2,4,6,8の数字の組合せで４で割り切れる2桁の数字は
04,08,20,24,28,40,48,60,80,84
の10個ですね。
このうち、0を含むもの（04,08,20,40,60,80の６つは
残り２つの数字を入れ替えて使えるのでそれぞれ2通りずつあります。
また、0を含まないもの(24,27,48,84の４つ）は、残り２つの数字の順は
一意に決まります（∵千の位に0を置けないから）から1通りずつです。
ここまでＯＫ？

よって求める個数は　2×6+4 = 16個　となります。

(3)
4260より小さいものなので、千の位は2か4しか取れません。

まず、千の位を2とすると、その数字は必ず4260より小さくなるので、あとの３つの桁（百の位～一の位）の組み合わせは何でもＯＫですね。
よって、この個数は5×5×5 = 125個　です。

次に千の位を4とすると、百の位は2か0しか取れません。
40** の場合は、必ず4260より小さくなるので、十の位と一の位の組み合わせは何でもＯＫで、その個数は
5×5 = 25個 です。
42** の場合、十の位は8と6を取ることはできません。逆にいうと、4,2,0ならあとは一の位は何でもＯＫです。よって、その個数は
3×5 = 15個　です。

したがって、求める個数はこれらを足して
125+25+15 = 165個
となるかと思います。

回答No.5

hinebot

＃２です。

>2-2.そのうち４の倍数は何個か
>４の倍数の条件は、下2桁が４で割り切れることで>す。
>0,2,4,6,8の数字の組合せで４で割り切れる2桁の数字は
>04,08,20,24,28,40,48,60,80,84
>の10個ですね。

64と68が抜けてました。全部で12個ですね。

>このうち、0を含むもの（04,08,20,40,60,80の６つは
>残り２つの数字を入れ替えて使えるのでそれぞれ2通りずつあります。
残り２つではなく、残り３つでした。
そこから２つを自由に選べるので６通りずつです。
（ちなみに、3×2＝6という計算になります。）

>また、0を含まないもの(24,28,48,84の４つ）は、残り２つの数字の順は
>一意に決まります（∵千の位に0を置けないから）から1通りずつです。

これも間違いで、 まず抜けていた２つを付け加えて24,28,48,64,68,84の６つですね。
で、24　を例にとると、残った数字は0,6,8の３つで千の位に0は使えないので
6024,6824,8024,8624 の４通り。他も同様です。
従って
6×6+6×4 = ６０個　になります。

失礼しました。（詳しくは#4さんが解説された通りです。）

回答No.4

fushigichan

basukebakakenjiさん、＃２です。

＞（２）数字がすべて異なるものは何個できて、そのうち、４の倍数は何個か。

４の倍数になるものは、一の位が６のもの、と書きましたが
一の位が２のものも、４で割り切れないです。

一の位が６のものは、

千　百　十　一
　　　　　　６
↑
２，４，８のどれか

千の位は、２か４か８のどれかで３とおり。
百の位は、それ以外＋０のうちのどれかで３とおり。
十の位は、上の２つ以外のどれかで、２とおり。
なので
３×３×２＝１８とおりあります。

一の位が２のものも、同様に１８とおりあります。

９６－１８－１８＝６０とおり
になると思います。

ちなみに、＃３の方の方法で解きますと、
下２桁が４で割り切れるのは、

０４、０８、２０，２４，２８，４０，４８，６０，６４，６８，８０，８４
の１２とおりになります。

１．下２桁に０が入っている場合。
　たとえば、下２桁が０４の数字を考えると
　２６０４
　２８０４
　６２０４
　６８０４
　８２０４
　８６０４
　の６とおりあります。
　下２桁に０が入っているような４で割れる数字は、
　０４一つにつき、６種類あるので、
　０４，０８，２０，４０，６０，８０の６つでは
　６×６＝３６とおり

２．下２桁に０が入っていない数字
　たとえば、２４のとき
　６０２４
　６８２４
　８０２４
　８６２４
　の４とおり。
　２４，２８，４８，６４，６８，８４の６つあるので
　６×４＝２４とおり

１と２の場合をずべて足すと
　３６＋２４＝６０とおり

となると思います。
＃２では下一桁が２の場合を書きもれていました。すみませんでした。
ご参考になればうれしいです。

回答No.2

fushigichan

baskebakakenjiさん、こんばんは。

＞重複を許すこととはどういうことなんでしょうか？

重複を許すとは、同じものを何回とってもいい、ということです。

＞　0,2,4,6,8から重複を許して四個の数字を選び、一列に並べて2000以上の整数を作る。
（１）整数は全部で何個できるか。

2000以上の数ですから、
千の位が２のものを考えると、
百の位は、０，２，４，６，８の５とおり
十の位も、０，２，４，６，８の５とおり
一の位も、０，２，４，６，８の５とおり
なので、
千の位が２の数字は、５×５×５＝１２５とおりある。

千の位が４のものについても、同様に１２５とおり。
千の位は、あと６と８だが、同様に１２５とおりあるので
４×１２５＝５００通り。

＞（２）数字がすべて異なるものは何個できて、そのうち、４の倍数は何個か。

千の位が２のものについて考える。
千の位が２だとすると
百の位は、２以外の０，４，６，８のうちのどれかで４とおり。
十の位は、千と百の位以外のものなので、３とおり。
一の位は、千、百、十の位以外の数字なので、２とおり。
なので
４×３×２＝２４とおり。

千の位が、４，６，８についても、同様であるので
４×２４＝９６とおり。

そのうち、４の倍数でないものは、１の位が６のものである。
（なぜなら、一の位が６のものが４で割り切れるためには
４×４＝１６
４×９＝１６
のどちらかしかないので、十の位が奇数になってしまう）
それは何通りでしょうか？

＞（３）4260より小さいものは何個できるか。

千の位が２のものは、(1)より１２５とおり（重複を許せば）
なので、千の位が４のもののうち、百の位以下が２６０
よりも小さくなるような場合の数を考えればいいですね。
千の位が２のもの全部と、千の位が４のもののうち、下３桁が２６０未満になるものの数を
足せばいいことになりますね。

ご参考になればうれしいです。

回答No.1

ymmasayan

最後の重複を許すというところだけ。
例えば、２，４，４，６という風に同じ数字を選んでい
いということです。