数学の問題がわかりません。

質問

数学の問題です。わかりません。

問題
三つの独立なベクトル a1, a2 ,a3 を３辺とする平行六面体の体積をＶとすれば、(a1 + a2), (a2 - a1), a3 を３辺とする平行六面体の体積Ｖ’はいくらか？

答え
Ｖ’ ＝ ２Ｖ

この問題で答え２Ｖが導かれるまでの過程がわかりません。できればお詳しい方、詳しくその過程をどうか、ご教授お願致します。

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回答No.2

bururutti-2 · ベストアンサー

ａ１，ａ２，ａ３を３辺とする平行六面体の体積は次の式で求められます。

Ｖ＝ａ１・（ａ２×ａ３）

この性質を使ってＶ’を求めてみます。

Ｖ’＝（ａ１＋ａ２）・｛（ａ２－ａ１）×ａ３｝
＝（ａ１＋ａ２）・（ａ２×ａ３－ａ１×ａ３）
＝ａ１・（ａ２×ａ３－ａ１×ａ３）＋ａ２・（ａ２×ａ３－ａ１×ａ３）
＝ａ１・（ａ２×ａ３）－ａ１・（ａ１×ａ３）＋ａ２・（ａ２×ａ３）－ａ２・（ａ１×ａ３）
＝ａ１・（ａ２×ａ３）－０＋０－ａ２・（ａ１×ａ３）
＝ａ１・（ａ２×ａ３）＋ａ２・（ａ３×ａ１）
＝２ａ１・（ａ２×ａ３）
＝２Ｖ

よって、Ｖ’＝２Ｖになる。

多分これで良いと思うのですが、なにしろ先ほど調べたばかりなので、もし間違っていたらすみません。

・自分が参考にしたサイト

↓平行六面体の体積
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Triprod/

↓内積の性質
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007.linear-algebra-I/html.dir/node14.html

↓外積の性質
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007.linear-algebra-I/html.dir/node21.html

回答No.1

nattocurry

図で考えましょう。

a1とa2を含む面は、平行四辺形になります。

(a1+a2)と(a2-a1)はどちらも、a1とa2でできる平行四辺形の対角線です。

2つの対角線を2つの辺とする平行四辺形の面積は、元の平行四辺形の面積の2倍になりますよね。

お礼

ありがとうございます。