水圧と奥行きの関係

質問

水圧と奥行きの関係　についてなのですが

水圧は奥行きに関係なく深さのみに比例するのでしょうか。

だとしたら、変な例えになるのですが、
例えば、密閉した大きな部屋があり、そこに大量の水を入れていったとして
その部屋の入り口のドアを、外から人間が押さえて、水が漏れないようにすることは
どんなに力を入れたとしても不可能だと思うのですが
同じ水深でも、もし奥行きが１センチしかない部屋があったなら
そのドアを外から押さえきることは可能だと思ったのですが・・・。

回答No.8

el156 · ベストアンサー

No.5です。再度のチャレンジです。
奥行き1cm、幅1m、高さ2mの容器に水が入っています。水の重さは簡単に計算できますが、あえて重さをm(kg)とします。重力加速度をg(m/s2)とすれば、容器床面(1cm×1m)に加わる力はmg(N)です。
次に側面、即ちドアを置くべき場所に加わる力を考えます。
側面の最下部の一部分、幅1m、高さ1cmの面積だけに加わる力は、底面に加わるmg(N)よりもほんの少しだけ小さな力になります。その1cm上の同じ面積に加わる力は、さらに又ほんの少し小さな値です。側面の面積は1m×2mですから、底面の200倍です。しかし力は上に行くに従ってゼロに向かって小さくなりますので、力の総和は底面に加わる力の100倍になります。
即ち、ドアにかかる力は水の重さの100倍になるわけです。
何故このような結果になるのか、最初一瞬不思議でしたが、てこの原理のような理屈だろうと思った時、「パスカルの原理」を思い出しました。油圧の原理となっている、あれです。
パスカルの原理はてこの原理のようなものですから、床を動かす場合と側面(ドア)を動かす場合でエネルギーに損得があってはいけません。次にこれを検証します。簡単の為に蝶番は無視してドアは平行に動くものとします。
まず、床面をΔxだけ下へ動かす場合を考え、これを基準にします。床面が仕事をされ、動いてΔxだけ下がった時、天井側の水位も同じΔx低下するので、水の重心はΔx下がり、その分水の位置エネルギーの総量が減ります。これが床面を動かしたことによる仕事と一致しているはずです。これと同じ量のエネルギーがドアを開ける方向に使われたとします。ドアの場合は床の高さは変化しませんから、天井側の水位が2Δx低下した時に重心は前と同じ同じΔxだけ下がります。ドアの面積は床面積の200倍ありますので、天井側の水位が2Δx低下した時のドアの移動距離は先の床面移動の場合の1/100です。即ち、100倍の力で1/100だけ移動することになり、どちらを動かしてもエネルギーの損得はありません。
私としてはこれで解決ではないかと思いますが、いかがでしょうか。

回答No.10

noname#194996

NO.2です。
まだ開いているようですので、罪滅ぼしに私なりの思い違いの詳細を書いて見ます。
質問者様のご理解の一端となれば幸いです。
厚みが１Cmの水が１ｍX２ｍドアの向こうに詰まっているとします。それで
たとえば、水が角砂糖のように凍った塊であった場合、

ドアには基本的に力が掛かりません。一番下の床の１ｍX１Cmに２０Kgが集中してかかります。
これが解けて水になったら、そこで２００Kgの力がドアに掛かるということです（前回の計算は間違っていました。重ね重ね申し訳ありません。）。

なぜかというと、
水（の立体）は（固体と違って）常に崩れようとして周囲全部にその力を及ぼすからです（パスカルの原理）。
分かりやすく１CmX2ｍ　の水の柱を想像しますと、一番下の１CmX1Cm　の面積にはその重さ全部の圧力が下にも横にもかかります。つまり２００ｇです。横だけ（ドア方向）に着目すれば、
その１Cm上には１９０ｇ、もうひとつうえ、つまり上から１７０Cm～１８０Cmの場所には１８０ｇ、と順ジュんに足し合わせると、この列だけで２００（ｇ）X２００（Cm)/２＝２Kg、幅１ｍではその１００倍で２００Kg　という計算です。
原資は２０Kgですが、圧力としてはそれらが重なって（複利的に）力を及ぼすというところがミソだと思います。
これは奥行きには関係ない数値です。
（最初手計算で桁間違いをしたので、ご回答がひどく揺れました。ご迷惑をおかけしました。
el１５６様などの見事なご回答（積分的考え）もあわせて、ご参考になれば。

かえって分かりにくくなったかもしれませんが。

お礼

何度も丁寧に解説していただき真にありがとうございました

回答No.9

noname#194996

NO.2です。
私の回答に破綻がありました。取り下げます。質問者様ほか各位に混乱させてしまったこと申し訳ありません。
！ｍｍ厚はともかく、１Cm厚でも最下部１Cm平方ですでに１０ｋｇの圧力がかかっています。ドア面総量でその２００倍の半分、１トンですね。

まことに失礼いたしました。

回答No.7

el156

No.5です。
質問者さんの疑問はごもっともで、私も腑に落ちません。
No.3の回答の理由で良いのかもしれませんが、何となく納得できません。
もう少し考えてみて、わかったらご報告します。
再度、答えになっていなくてすみません。

お礼

ありがとうございます

補足

よろしくお願いいたします

回答No.6

el156

No.5です。補足です。思考実験してみました。
1) 天井の開いている4畳半の部屋に水が満たされています。壁にドアがあって水圧が掛かっています。この部屋を2つに分ける鉛直な仕切り壁を入れることにします。仕切り壁は薄いものでも曲がることはありません。何処に入れても同じです。部屋の中の水に流れが無く仕切り壁の両側に同じ水深があれば、各水深で両側の水圧は同じだからです。仕切り壁が厚いと体積分だけ部屋の水深は増加しようとしますが、部屋は元々水で満たされているのでその分の水は天井から溢れて水深は変わりません。仕切り壁をどのように入れても仕切り壁の有無でドアに掛かる水圧も力も変化することはありません。仕切り壁を部屋の壁と同じ厚い壁にしてドアから1cmの場所を仕切った後で、仕切り壁より奥の水を抜いてしまえば、設問の奥行き1センチの部屋と同じです。
これで答えになるでしょうか？
2) 参考例です。
水深は上の例と同じで同様に天井が開いていますが、ドアは壁ではなく床にあって床下から押さえるものとします。水深全部の水頭がドアに掛かるので、上の例よりもさらに押さえるのは大変です。部屋の広さを4畳半より狭くしていってもドア全体が部屋に面している間はドアに掛かる力は減りません。しかし部屋をもっと狭くしてドアが部屋からはみ出す状態になれば(はみ出した部分は大気圧だとして)、ドアに掛かる圧力は同じですがドアに掛かる力ははみ出した面積の分だけ減ってゆきます。部屋の広さがドア幅x1cmになってドアの大半が部屋からはみ出している状態なら、人の力でも簡単に押さえることができると思います。

補足

詳しい解説ありがとうございました。ない頭で一生懸命想像しました。
確かに説明を聞いて考えると
そうだよな・・。とは思うのですが
なんか不思議です。（感覚の問題なのでしょうが）

２m×１m×１cmの水が入っていたとして
この水の重さはわずか２０kgですよね。
２m×１mのドアにかかる力がそれをはるかに超える
力（１万Ｎ？）が働く？ということなんですよね？・・・不思議です。

回答No.5

el156

部屋の天井は開いているということで良いんですよね。
圧力は「単位体積あたりの」位置エネルギーが「単位体積あたりの」圧縮エネルギーに置き換わったものですから、奥行きには関係しません。圧力が同じならドアを開けようとする力も同じはずです。
No.3の回答の通りなのでしょうが、それでも確かに不思議に感じますね。
答えになっていなくてすみません。

回答No.4

yokkun831

さらに補足です。

厚さが１ｍｍになったら…という点ですが，それだけ薄くなると水圧よりも分子間力が効いてくると思います。たとえば，２枚のガラス板の間に水が入り込むと板がくっついて離れにくくなりますね？これは，水分子同士および水分子とガラス「分子」間の引力によるもので，こうした厚さにおいてはじめて単純な水圧の法則が成立しなくなります。

補足

度々ありがとうございます。

komaas88　さんのご意見と比較して混乱しています。
これなら手で支えきるということ？？（分子間力が働かない程度の厚さで考えて）
意見が違うということなのでしょうか。
・・・・さらに分からなくなってきた・・・。

回答No.3

yokkun831

補足をします。

なぜ，薄い水壁だと力がいらないと思ってしまうか，という点についてです。

水壁が薄ければ薄いほど，ドアが少しでも押されると水位の降下が速くなりますね？たとえば，１ｃｍの水壁だと５ｍｍ押されれば水位が半分になってしまうわけです。すると，実質的におさえる力が小さくてすむように思えるのです。しかし，水位が下がらない状態でドアが水から押されている力は，水圧の合力に他なりませんから，水量が少なければ小さくなるというようなものではありません。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

noname#194996

少なければその扉の前にある水の総量の重さの半分以上の圧力は掛からないと思います。１Cmの厚みだったら全体で２０Kgですから、その半分の１０ｋG以上にはならないでしょう。１ｍｍなら１０００ｇですね。開き扉ですから更にその半分で足ります。
最大圧１ｔが奥行き１ｍになったときの高さ（水深）と面積で決まっていて、それ以上は増えないということだろうと思います。

回答No.1

yokkun831

不可能でしょうね。

大雑把な計算で，ドアを2m×1mとして高さ2mまで水が入っているとすると，ドアに加わる圧力の合力は，約２万Nになります。すると，ちょうつがいがこわれないとしてドアを押さえる力は１万N，1t重になります。同じ重さの1cm厚の板を押さえるのとは全く違うことを理解しましょう。

お礼

ありがとうございます。
その計算の２万Ｎというのは奥行きに関係なく
どの奥行きでも２万Ｎということなのでしょうか？

たとえ部屋の奥行きが１ミリでも２万Ｎになるのですか？