三角形の辺の長さを計算するには？

質問

エクセルで計算式を作っているのですが、３つの異なる半径を持つ円に接する外接円の半径の求め方が分かりません。円の直径は既知ですが、角度等は円の組み合わせが変わるので、変則的です。
各円の中心を起点とした三角形から外心を出し、その外心から各円の中心を通る直線を引いてその円に接した点３点を頂点とする三角形の外心が、答えなのは図形上分かっているのですが、先に与えられた３つの円の直径だけを使って、なんとか計算式を作りたいのですが、どなたか分かりませんか。インターネットで公式のサイトをみてもよく分かりません。仕事で必要なので是非教えて下さい。

回答No.4

nakaizu · ベストアンサー

四つ、五つの場合はとても難しいと思います。円の位置が決まれば、それを含むような円の最小のものを求めることは大変ですができないことはないでしょう。しかし、円をどのように配列するのが最善かを調べるのが難しいように思います。
円の直径が同じばあいでも、個数が多い時の最善の配置を求める問題は未解決だったと思います。
関連するサイトはあるかもしれませんが、残念ながら知りません。

後から気付いたのですが、三つの場合も、最小の円が他の円に比べてとても小さい場合は二つの円の隙間に入ってしまうので、お知らせした公式が使えません。その時は大きい方の二つの円を含む円がそのまま求める円になりますので、半径を足すだけで求められます。

お礼

ありがとうございました。
考え方が１つでもわかっただけでも十分です。
本当にありがとうございました。

回答No.3

nakaizu

やはり問題が違っていましたね。二つの円が接している時、団子のように隣り合っている時を外接、片方の円がもう一方に入っている時を内接といいます。
問題は三つの円が互いに外接しているとき、この三つの円全てに「内接」する円の半径を求めるわけですね。
No. 2 の解答は三つの円が接している場合は中央にできた隙間にできる小さな円を求めることになるので、問題の解答になっていません。なお、数値計算がおかしくなるので、よく見たところ、Bのd3^2と書くべきところが一ヶ所d3^3となっていました。これが原因です。
さて、本来の問題の解答ですが、三つの円が互いに外接するという条件が新たに加わったのでかなり簡単な式になりました。
三つの互いに外接する円の半径をr1,r2,r3,これらの円を含むように「内接」する円の半径をrとすると
a=r1+r2+r3,b=r1r2+r1r3+r2r3,c=r1r2r3として、
r=c(b+2√(ac))/(4ac-b^2)
r1=20,r2=25,r3=30のときには
r=6/431(1850+1500√2)≒55.2852
となりました。

お礼

ありがとうございます。質問の仕方が悪かったため、よけいな時間をとらせてしまい申し訳ありませんでした。
専門家だけあって、パッと答えが出てくるなど尊敬せざるを得ません。
そこで申し訳ありませんが、他の疑問にもありますように４つの場合、５つの場合なども計算できないでしょうか。また、このような公式はどこのホームページを見たらよいのでしょうか。

回答No.2

nakaizu

複雑でミスもあるかもしれませんが、結果が出たのでお知らせします。
三つの円C1,C2,C3の半径をr1,r2,r3とします。三円に外接する円Cの半径をrとします。円Cの回りにC1、C2、C3がくっついている図になります。
C1とC2,C2とC3,C3とC1の中心間の距離をd3,d1,d2とします。
A=d1^4+d2^4+d3^4-2(d1^2d2^2+d2^2d3^2+d1^2d3^2)+4(d1^2(r1^2+r2r3-r1r2-r1r3)+d2^2(r2^2+r1r3-r1r2-r2r3)+d3^2(r3^2+r1r2-r1r3-r2r3)),
B=-d1^4r1-d2^4r2-d3^4r3+d1^2d2^2(r1+r2)+d1^2d3^2(r1+r3)+d2^2d3^3(r2+r3)+d1^2(r1^2(r2+r3)+r1(r2^2+r3^2)-r2r3(r2+r3)-2r1^3)+d2^2(r2^2(r1+r3)+r2(r1^2+r3^2)-r1r3(r1+r3)-2r2^3)+d3^2(r3^2(r1+r2)+r3(r1^2+r2^2)-r1r2(r1+r2)-2r3^3),
D=(d1+d2+d3)(-d1+d2+d3)(d1-d2+d3)(d1+d2-d3)(d1-r2+r3)(d1+r2-r3)(d2+r1-r3)(d2-r1+r3)(d3+r1-r2)(d3-r1+r2)
とすると
r=(B-√D)/A
となります。

補足

具体的計算式をありがとうございます。早速教えていただいた計算式をエクセルの関数式で下記の通り作成しましたが、Aの値が負になり、rで求められた値も負になりました。

A=POWER(d1,4)+POWER(d2,4)+POWER(d3,4)-2*(POWER(d1,2)*POWER(d2,2)+POWER(d2,2)*POWER(d3,2)+POWER(d1,2)*POWER(d3,2))+4*(POWER(d1,2)*(POWER(r1,2)+r2*r3-r1*r2-r1*r3)+POWER(d2,2)*(POWER(r2,2)+r1*r3-r1*r2-r2*r3)+POWER(d3,2)*(POWER(r3,2)+r1*r2-r1*r3-r2*r3))

B=-POWER(d1,4)*r1-POWER(d2,4)*r2-POWER(d3,4)*r3+POWER(d1,2)*POWER(d2,2)*(r1+r2)+POWER(d1,2)*POWER(d3,2)*(r1+r3)+POWER(d2,2)*POWER(d3,3)*(r2+r3)+POWER(d1,2)*(POWER(r1,2)*(r2+r3)+r1*(POWER(r2,2)+POWER(r3,2))-r2*r3*(r2+r3)-2*POWER(r1,3))+POWER(d2,2)*(POWER(r2,2)*(r1+r3)+r2*(POWER(r1,2)+POWER(r3,2))-r1*r3*(r1+r3)-2*POWER(r2,3))+POWER(d3,2)*(POWER(r3,2)*(r1+r2)+r3*(POWER(r1,2)+POWER(r2,2))-r1*r2*(r1+r2)-2*POWER(r3,3))

D=(d1+d2+d3)*(-d1+d2+d3)*(d1-d2+d3)*(d1+d2-d3)*(d1-r2+r3)*(d1+r2-r3)*(d2+r1-r3)*(d2-r1+r3)*(d3+r1-r2)*(d3-r1+r2)

r=(B-SQRT(D))/A

キャドでC1の直径を40mm、C2の直径を50mm、C3の直径を60mmで作図した場合、外接円の半径はほぼ55mmになりました。エクセルの式が違うのでしょうか？

回答No.1

nakaizu

問題がよくわからないのですが、三つの円に外接する円の半径を求めるのですね。三つの円は離れていると思ってよいのでしょうか。これを求めるには円の半径の他に円の中心の座標とか、円の中心同士の距離とかがわかっていないと求めることができません。
なお、後半に書かれている図形上の解答も、間違っています。(問題がそもそも違うのかもしれませんが)
各円の半径と、中心間の距離、の六つの数値がわかれば外接円の半径は求めることができる筈ですが、相当複雑な式になるものと思います。時間がないので具体的な式を求められませんが、ご容赦ください。

補足

具体的になぜこのような計算をしたいのかというと、電線管にケーブルを入れる際の条件として、ケーブルの直径の１．５倍の内径を持つ電線管を選定すること。という決まりがありますので、ケーブルの本数が１本、２本の場合は問題ありませんが、ケーブルが３本の場合は三角形のような形で納めた場合の外接円をケーブルの直径と見なして、１．５倍の計算を行わなくてはいけないからです。ケーブルは様々な種類があり、また組み合わせも色々なので、簡単に計算する方法はないのかな？と思い質問しました。実際には、３本だけではなく、４本の場合は？５本の場合は？と云う疑問もありますが、とりあえず３本の計算ができないのかなと思いました。