その命題を証明するんでしょうね。
x,y,z∈Ｎ が落ちているのも、ご愛嬌ということで…
(x,y,z) = (0,0,0) じゃ、つまらないですからね。
「*」は、通常、掛け算を表す記号ですが、
掛け算だとすると、その命題は成立しません。
反例： (x,y,z,n) = (2,1,1,13) とか。
ここはひとつ、勝手に、「*」を冪乗と読んでみます。
(∃x,y,z: x^n + 2y^n = 4z^n) ⇒ n = 2 を証明しましょう。
x^n + 2y^n = 4z^n が成立っているとします。このとき、
両辺の遇奇を考えると、x は偶数であることが判ります。
そこで x = 2a と置いて、代入すると、
(2^(n-1))a^n + y^n = 2z^n となります。
n≧2 ですから、2^(n-1) は偶数。よって、再び
両辺の遇奇を考えると、y が偶数であることが判ります。
そこで y = 2b と置いて、代入すると、
(2^(n-2))a^n + (2^(n-1))b^n = z^n となります。
もし n≧3 であれば、2^(n-1) も偶数なので、
両辺の遇奇を考えると、z も偶数であることが判ります。
そこで z = 2c と置いて、代入すると、
a^n + 2b^n = 4c^n となります。
以上より、n≧3 の場合には、解 (x,y,z) があれば、
解 (a,b,c) も存在するということになります。
そんなことが起これば、ひとつの解 (x,y,z) を見つけると
(x/2,y/2,z/2), (x/4,y/4,z/4), (x/8,y/8,z/8), … が
全て解だということになりますが、
x/2^k は、k が大きくなると、自然数ではなくなります。
これは矛盾です。よって、背理法により、n＜3。
2≦n＜3 となる自然数 n は、n = 2 だけですね。
mod がお好きなら、上記の「遇奇を考えると」を
「mod 2 で考えると」に置き換えるとよいかもしれません。
