図形の問題

質問

半径１cmの球があり、その半径が3cm/sの割合で増加する。
半径が4cmとなった瞬間の球の体積の時間変化率はいくらか？

解き方を教えてください。
答えは、　192πcm^3/s　です。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

半径rの球の体積は
V = (4/3)πr^3
で表されます．

今の場合，半径は3cm/sで増加するので
dr/dt = 3cm/s

球の体積Vの時間変化率dV/dtは次のようになります：
dV/dt
= (dV/dr)(dr/dt)
= 4πr^2 × 3cm/s.

半径4cmのときの球の体積Vの時間変化率は，上の式でr = 4cmとして，
dV/dt
= 4π(4cm)^2 × 3cm/s.
= 192π cm^3/s.

お礼

スマートな解答、ありがとうございます！

回答No.3

puusannya

半径が時間の関数で、その変化の割合が３なので
ｄｒ／ｄｔ＝３　である。
両辺をｔで積分すると、ｒ＝３ｔ＋ｃ　（ｃは積分定数）　となり
ｔ＝０のとき１ｃｍだったから　ｒ＝３×０＋ｃ　より　ｃ＝１
よって　ｒ＝３ｔ＋１
この半径が４になるのは　４＝３ｔ＋１　より　ｔ＝１　のときである。

球の体積は　Ｖ＝（４／３）πｒ＾３＝（４／３）π（３ｔ＋１）＾３
ｔで微分すると　Ｖ’＝（４／３）π・３（３ｔ＋１）＾２・３
　　　　　　　　　　＝１２π（３ｔ＋１）＾２

半径が４になるのはｔ＝１のときだからＶ’に代入すると
Ｖ’＝１２π・４＾２＝１２・１６π＝１９２π

よって　半径４ｃｍのときの体積の時間変化率は　１９２πｃｍ＾３／ｓ　である。

回答No.1

WiredLogic

球の半径や体積は、大きくなりだしてからの時間・t の関数なので、
半径をr(t), 体積をV(t) とおいてみます。

半径は、最初が１、１秒ごとに3大きくなるので、r(t) = 3t+1 になり、半径が4になるのは、t=1のときです。
すると、体積は、V(t) = (4/3)π{r(t)}^3 = (4/3)π(3t+1)^3 になります。

V(t) を ｔで微分した導関数を、V'(t)とすると、求めるのは、V'(1) になります。
（相手が何にせよ、時間tで微分すると、時間変化率になります。対象が位置なら、特に速度といいますが)

V'(t) = (4/3)π*3(3t+1)^2 * 3 = 12π*(3t+1)^2 なので、
V'(1) = 12π*(3*1+1)^2 = 192π となります。