確率での「事象の独立」の解釈です。

質問

数学を、趣味で勉強している者です。宜しくお願いします。

例題
確率ｐで成功する（1-ｐで失敗する）実験を２回行なったとき

事象Ａ：１回目が成功である　（２回目は問いません）
事象Ｂ：２回の結果が同じである（２回とも成功、又は２回とも失敗）

このとき、事象Ａと、事象Ｂは独立か、独立でないか？ですが

ｐ＝0.5のとき、Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）で
ｐ≠0.5以外では、Ｐ（ＡＢ）≠Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）ですが
そうすると、表現として
「ｐ＝0.5のときのみ事象Ａと、事象Ｂは独立、そしてｐ≠0.5以外では、独立でない」となるのでしょうか

それとも、たまたま
ｐ＝0.5でＰ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）が成立しただけなので、
「事象Ａと、事象Ｂは独立でない」と言うべきなのでしょうか。

ご教授願います。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

極端なケースで、「事象Xと事象Yが独立か」という問題を考えてみましょう。XとYに何の情報もないので、「独立かどうか分からない」というのは分かりますね？

話はすごく単純で、
（１）P(XかつY)=P(X)P(Y)と結論できる情報があるとき⇒独立
（２）P(XかつY)≠P(X)P(Y)と結論できる情報があるとき⇒独立でない
（３）上のどちらの情報もないとき⇒分からない
です。

１回目の実験で成功することと２回目の実験で成功することとが独立である、という前提で考えると、次のようになります。

　　P(A)=p
　　P(B)=p^2+(1-p)^2
　　P(XかつY)=p(p^2+(1-p)^2　　)
　　P(AかつB)=p^2
ですから、p=0.5かどうかでP(AかつB)=P(A)P(B)となったりP(AかつB)≠P(A)P(B)となったりします。したがって、「AとBが独立かどうか分からない」です。

次に
　　P(C)=p
　　P(AかつC)=p^2
ですから、pが何であっても、常にP(AかつC)=P(A)P(C)となるので、「AとCは独立」です。

お礼

お礼が遅くなりました。
どうも、ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

学問上どうかは知りませんが、
事象ＡとＣについては、「p について恒等的に独立」
とでも言えば、通じる場面が多そうです。
独立性の分類として、それが何かのパラメータに依存
するか否かを指す用語は、無さそうな気がしますが…

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.2

alice_44

たまたま ｐ＝0.5 で「事象Ａと事象Ｂは独立」であり、
それ以外では「事象Ａと事象Ｂは独立でない」と言うべきです。
したがって、ｐの値が判らないときは、
事象Ａと事象Ｂが独立か・独立でないかは決められません。

お礼

アドバイスありがとうございました。

補足

もうひとつ教えてください。

今、新しい事象Ｃ：2回目が成功である　（1回目は問いません）
とした場合、事象Ａと事象Ｃはｐの値が判らなくても「独立」と決められますが

このように、
「ｐの値が判らないと独立かを決められない事象Ａと事象Ｂの関係」と
「ｐの値が判らなくても独立と決められる事象Ａと事象Ｃの関係」とは
学問上、なんらか分類したりとかするのでしょうか。
（二つの関係は、何か違う性質に思えたものですから・・）
アドバイス頂けたら助かります。

回答No.1

ramayana

「ｐ＝0.5のときのみ事象Ａと、事象Ｂは独立、そしてｐ≠0.5以外では、独立でない」です。
独立かどうかは、分布の状況により変化するものです。

補足

もう少し、教えてください。

質問の例で、もし確率ｐが、判らないときは、
「事象Ａ　と　事象Ｂ　の独立か・独立でないかは、決められない」
と解釈すればいいのでしょうか？