熱力学の問題です。

質問

理想気体において、Tが一定のときに(∂U/∂V)＝0はどうやって示せばいいでしょうか。
いろいろ調べてみたのですが、よくわからなかったので、誰か教えて下さい；；

回答No.2

drmuraberg · ベストアンサー

回り道ですがヘルムホルツの自由エネルギの考えを使ってみましょう。

内部エネルギUは,系に与えられる熱をQ、系がする仕事をWとすると
U=Q-W　　　　　　　（１）
ヘルムホルツの自由エネルギFは、系のエントロピーをSとすると
F=U-TS　　　　　　　（２）

（１） より
dU=dQ-dW=TdS-pdV （３）
（２） より
dF=dU-TdS-SdT （４）
（４） に（３）を入れて整理すると
dF=-SdT-pdV （５）
これよりT=一定ならば
（∂F/∂V）_T = -p （６）

一方（２）をU=TS+F と書き換え、Vで偏微分すると
（∂U/∂V）_T = T （∂S/∂V）_T ＋（∂F/∂V）_T　　（７）
ここで、Maxwellの関係式　　
（∂S/∂V）_T = T （∂P/∂T）_V　と（６）より（７）は
∂U/∂V）_T = T （∂P/∂T）_T – p

これに理想気体の状態方程式PV=RT の関係を代入すると
∂U/∂V）_T = T R/V – p　＝ｐ－ｐ＝０

となります。式の意味は下記URLを参考にしてください。
http://www.chem.tokushima-u.ac.jp/B2/TamuraLab/Lecture/Lecture01.pdf

お礼

とてもわかりやすく教えていただいてありがとうございます。
ぜひ参考にします！助かりました！！

回答No.1

yurih

dU=TdS-pdV
dS=(∂S/∂T)dT+(∂S/∂V)dV

よって dU=T(∂S/∂T) dT + {T(∂S/∂V)-p} dV 　・・・(1)
dUが完全形式なので、∂/∂V {T(∂S/∂T)} = ∂/∂T {T(∂S/∂V)-p}

これをとくと、∂S/∂V = ∂p/∂T
(1)に代入すると、dU=T(∂S/∂T) dT + {T(∂p/∂T)-p} dV

ここで、第2項の {T(∂p/∂T)-p} は、∂U/∂Vに他なりません。
T(∂p/∂T)-p　に理想気体の状態方程式を代入すると、ちゃんと0になります。

第一法則だけでは示せません。

お礼

解き方教えていただいてありがとうございます。
全然わからなかったのでとても助かりました。