強制解について

質問

y''+cy'+y=r(t)
r(t)=Σ(n=1,N)(a_n*cosnt+b_n*sinnt)
c>0とします。
この時の強制解を求める問題です。

y=Σ(n=1,N)(a*cosnt+b*sinnt)
とおいて計算したんですが、答えがΣΣとなる所がありました。
しかし、教科書の答えには、Σしかありません。
ΣΣとなる所を除いては、答えがあっています。
ΣΣとなる所は間違えなんでしょうか？

分りやすい解説をお願いします。

回答No.3

noname#125930 · ベストアンサー

どこから二重級数が出てきたのか分からない。
y=Σ(n=1,N)(a*cosnt+b*sinnt)とおいて
y''+cy'+y=∑{(-an^2＋bcn＋a)cosnt＋(-bn^2-acn＋b)sinnt}より

元の微分方程式が成立するようにa,bを定めると
cosnt,sinntの係数比較から
a(1-n^2)＋bcn=a[n]
b(1-n^2)-acn=b[n] よりaとbをa[n],b[n],c,nを用いて表せばよい。

お礼

なるほど。
係数比較すれば二重級数がでてこないですね。
なんで、Σが付いた形で計算すると二重級数がでてくるんですかね？
なんか、納得いきません。
でも、一応やり方は分ったのでありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

なぜ「y=Σ(n=1,N)(a*cosnt+b*sinnt)」とおいたのですか? つまり, なぜ全ての n で共通の a, b を設定したのですか?
あと, 「答えがΣΣとなる所」というのがなんのことやらさっぱりわかりません. これがどういう形なのか, そして「教科書の答え」がどうなっているのかを書かないのに, どうして「正しい」かどうか判断できるというのですか?

回答No.1

noname#125930

強制解の定義を補足にどうぞ。

補足

非斉次項が0でない場合の解です。
非斉次項が0である場合の解を除いたものです。
定常解とも言われます。