新たに挑戦。エジプトの分数問題
エジプトの分数問題が、解けたような気がするので、再度挑戦します。
e*P(e,f,g,h)=4*e*f*g*h - h - f (1)
Q(a,b,c)=4*a*b*c - b - 4c (2)
わかりやすくするため、式を変形する。P()＝Q()=24*n+1とする。
4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L=1 ?
(4*b - 1)*a - {(6*n+b)/c｝=K=1 ?
適当に値を代入して、L=1またはK=1に
になれば、等式が成り立ち、解が存在するだろう。
なので、L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する。
それにより、(1)の式の解がないとき、(2)の式に必ず解が見つけることが
できることを表す。
4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L
e=4*b - 1,f=1 とおくと
4*(4*b - 1)*g - 1{(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h=L
4*(4*b -1)*g={(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h+L
h=4m とおく
4*(4*b - 1)*g={(24*n*b+b - 6*n)/m}+L
ここで式を変形してKを代入する。
(4*b - 1)*a - (6*n+b)/c=K
(4*b - 1)*a={(6*n+b)/c}+K
a=4d とおくと
4*(4*b - 1)*d={(6*n+b)/c}+K
4*(4*b - 1)=[{(24*n*b+b - 6*n)/m}+L]/g
=[{(6*n+b)/c}+K]/d
nがどんなときにもK=1になることから、
{(24*d*b)/(g*m)} - {(6*d)/(g*m)} - {6/c}=0 (3)
{(d*b)/(g*m)}+{(d*L)/g} - {b/c}=K (4)
(3)より
{(4*d*b)/(g*m)}={d/(g*m)}+{1/c}
{d/(g*m)}*(4*b - 1)={1/c}
{d/(g*m)}=[1/{c*(4*b - 1)}]
(4)より
{d*(b+L*m)/(g*m)} - {b/c}=K
[(b+L*m)/{c*(4*b - 1)}] - {b/c}=K
ここで、Lが１以外の時にK=1となる数
ｂ、ｃが存在する、たとえば、
L*m=(b+c)*(4*b-1)-b とおけば
{(b+c)/c}-{b/c}=1=K
となり、K=1とすることができる。
少し厳密性がありません。いい加減な証明です。
