断面形状が変化する梁の撓み量

質問

片持ち梁で撓み量を求める場合　梁の断面形状が一様な場合はよいのですが断面形状(断面二次モ-メント)が梁の長さ方向の関数で変化するような場合　撓み量を求める方法を教えていただきたいのですが　宜しくおねがいします。

回答No.4

inara1 · ベストアンサー

梁の断面形状が長手方向（ｚ方向）で変化する場合は、断面二次モーメントを、固定端からの距離 z の関数 I(ｚ) として、それを梁の形状 y(ｙ) に関する微分方程式に代入した
　　d^2y/dz^2 = M(z)/{ E*I(z) } --- (1)
を y(z) について解けばいいだけです。 M(z) は曲げモーメント、E はヤング率です。ヤング率も z 方向で変わるとき（梁の材料が途中で変わるときなど）は、 E も z の関数 E(z) とします。

y方向に荷重をかけたときの断面二次モーメントは、dA を断面内の微小面積として
　　I(z) = ∫y^2 dA
で定義されますが、断面が矩形（長方形）や円などのように単純な形状のときは以下のようになります。

（断面形状が矩形の場合）
断面積が位置 z によって変わり、幅が w(z)、高さが h(z) で表わされるとき
　　　dA = dx dy
　　　積分範囲は、x 方向が矩形の幅の範囲、y 方向が矩形の高さの範囲
として
　　I(z) = ∫[ x = -w(z)/2 ～ w(z)/2 ] dx∫[ y = -h(z)/2 ～ h(z)/2 ] y^2 dy = { w(z)*h(z)^3 }/12
となります。梁が長さ L の四角錐なら、w(z) = w0*( L - z )/L、h(z) = h0*( L - z )/L です（ w0 と h0 は底面の幅と高さ）。

（断面形状が円の場合）
断面積が位置 z によって変わり、断面の半径が r(z) で表わされるとき
　　　dA = r dr dθ
　　　y = r*sinθ
より
　　　y^2 dA = ｒ^3 （sinθ)^2 dr dθ = r^3*{ 1 - cos(2θ) }/2 dr dθ
したがって
　　　I(z) = ∫[ r = 0 ～ r(z) ] dr∫[ θ = 0 ～ 2*π ] ｒ^3*{ 1 - cos(2θ) }/2 dθ
　　　　= π*{ r(z)^4 }/4
となります。梁が長さ L の円錐なら、r(z) = r0*( L - z )/L です（r0 は底面の半径）。

富山高専ではここ（http://www.toyama-nct.ac.jp/gakusei/syllabus/16/syllabus/kikai/3/zairiki1m.pdf）の第32週のところの右側に書いてあるように、上の方法で解かないと×になると思いますが、smzsさんの場合はどうなのでしょうか。集中荷重や分布荷重のとき M(z) がどういう形になるかとか、式(1)を解いた後、たわみを計算する方法は分かりますね？

お礼

回答有難うございます。
実際　リフティング　ビ-ムの最大撓みを求めなければならないので実行してみて　実際の測定値と比較してみたいと思います。
snzsさんの弾性荷重法は知りませんでした。私なりに調べてみたいと思います。有難うございました。

回答No.5

smzs

＃３です。

＃４様ご回答は、最も基本に忠実な方法ですね。
ですから、仮に、問題が、基本に忠実な方法を要求しているのであれば、もちろん　×　でしょう。

弾性荷重法というのは、たわみを、微分方程式を解くこと無しに求める方法として考案されています。

構造力学で、ＥＩが入ることを別にすれば、
　たわみ　→　２階微分　→　曲げモーメント
　曲げモーメント　→　２階微分　→　荷重
となるのは、ご存知と思います。

　ですから、荷重を与え、微分方程式を解けば、当然、曲げモーメントは求まります。
　同様に、曲げモーメントを与え、微分方程式を解けば、たわみが求まります。

　しかし、荷重から曲げモーメントを求める際、多くの場合は、微分方程式を解くこと無しに、力の釣り合いから容易に曲げモーメントは得られます。

　ここで、上の「たわみ　→　２階微分　→　曲げモーメント」の関係に注目すると、これは、ＥＩが入ることを別にすれば「曲げモーメント　→　２階微分　→　荷重」の関係と同じです。
　つまり、曲げモーメント（正確には曲げモーメント／ＥＩ）を仮想の荷重と思って、その荷重に対する仮想の曲げモーメントを（力の釣り合いで）求めれば、それが、実際には、もとの荷重のたわみになります。結局、微分方程式を解くこと無しに、たわみが得られることになります。これが弾性荷重法です。

　私は、現在は構造力学担当ではなく他の科目の担当ですが、構造力学を担当していた頃は、この弾性荷重法を変断面はりの解法として学生に勧めていました。

あっ、この回答ではわかりやすくするために「仮想の荷重」「仮想の曲げモーメント」などという表現をしてしまいましたが、これらは、当然、仮想仕事や仮想変位などとは別物です。

回答No.3

smzs

「弾性荷重法」をご存じないですか？　構造力学の、かなり早い段階で出てくるはずです。

まず、もとの片持ちばりに、普通に荷重を載せ、曲げモーメントを求めます。

次に、その曲げモーメントをEIで割った「Ｍ／ＥＩ」を”仮想の荷重”とみなし、元の片持ち梁を左右反転させた（固定端と自由端を反転させた）はり（共訳ばりといいます）に、その「仮想の荷重」を載せて、「仮想の荷重に対する曲げモーメント」を求めます。
すると、その「仮想の曲げモーメント」が、元の梁の、元の荷重に対するたわみになります。

変断面の静定ばりのたわみを求める際に、よく使われる方法です。

お礼

機械工学を専攻したのですが弾性荷重法は知りませんでした。ただ忘れただけかもしれませんが。
自分なり調べてみたいと思います。また質問させていただくかもしれませんがまたよろしくお願いします。有難うございました。

回答No.2

egarashi

梁の微小領域で力の釣合とモーメントの釣合を考えればよいと思います。
積分を使います♪

回答No.1

debukuro

こういう事は模型実験で近似的に求めるのです