複素数の微分を利用した問題について質問
u(x , y) = ax^2 + by^2とする。w(z) = u + ivが正則となるとき、実数a , bの間に成り立つ関係を示せ。このときwの虚部すなわちuと共役な関数
v(x , y)を求め、wをzの関数として表せ。さらに、z-平面上の曲線
u(x , y) = C1とv(x , y) = C2の交点で、両者は直交することを示せ。直交しない点zがあれば求めよ。
【解答】
Cauchy-Riemannの関係式より、
u_x = v_y , u_y , -(v_x)
ここで、
u_x = 2ax , u_y = 2by
より、
v_y = 2ax , v_x = -2by
v_yをxを固定してyで積分すると、
v = 2axy + f(x)
ただし、f(x)はxについての関数。vをxで偏微分して、
v_x = 2ay + df(x)/dx = -2by
df(x)/dx = -2ay - 2by = -2(a + b)y
ここで、df(x)/dx はxだけの関数、-2(a + b)yは
yだけの関数なので結局両者は定数とならなければいけない。
よって、a + b = 0であることが必要。すなわち、
a = -b
そして、右辺が0になるから左辺も当然0になる。
よって、f(x)も定数でなければならない。そこで、
f(x) = C（定数）
とおくことにする。すると、
v(x , y) = 2axy + C (= -2bxy + C)
がuと共役な関数v(x , y)となる。
ここで、z-平面状の曲線の式
u(x , y) = a(x^2 - y^2) = C1
v(x , y) = 2axy = C2
を考えられる。変形して、
y^2 = x^2 - C1/a
2yy' = 2x
y' = x/y = ±x/sqrt(x^2 - C1/a) (i)
y = (C2/2a)(1/x)
y' = -(C2/2a)(1/x^2) (ii)
(i) * (ii) = -1になれば直交するので、
・・・？
というとこまで来たのですが、どこが間違っているのでしょうか・・。
y'同士の積が-1になるようにしようとしてもできません。
よろしくお願いします。
補足
定数ってabcの三つだけで表せるものなんでしょうか？ 複雑な式とかになると三つじゃ収まらないような気がするんですが・・・・