物理の問題の回答が理解できません。

質問

次の問題の回答の意味が分かりません。

問題
大気の温度が一様に０℃、地表の気圧が760mmHgとして、高さ800ｍの点の気圧を計算せよ。ただし、大気の密度は0℃、760mmHgで0.00129g/cm^3、水銀の密度は13.6g/cm^3とする。

また、以下の式を使ってよい。

体積Vで単位質量の大気にある法則によりTを温度、cを定数としてpV=cT
地表からの高さzの大気圧をp(z)とすると、z=0での大気圧をp(0)として、p(z)=p(0)e^-(gz/cT)

回答
p(z)=p(0)e^-(z/z(0))、z(0)=cT/g=p(0)V/g=8000m
p=p(0)e^-(800/8000)=...=0.905p(0)
したがって、高さ800mでp=688mmHgとなる。

特にp(z)=8000mとなる等式が理解できませんでした。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>p(z)=p(0)e^-(gz/cT)

で
z(0)=cT/g　　(1)
とおくと、
p(z)=p(0)e^(-z/z0)。　　(2)

z0の値を求めるため、(1)式に
pV = cT　　(3)
を使うと、
z(0)=pV/g。　　(4)
今の場合、(3)で c は定数であり T は一定なので、その左辺 pV は一定。よって、地表での値で評価すると（V は単位質量の大気の体積なので）
pV = 760[mmHg]×(1[g]/0.00129[g/cm^3])。　 　(5)
ここで
760[mmHg] = 76.0[cm]×13.6[g/cm^3]×g　　(6)
（最後の g はグラムではなく、重力加速度）。(4)、(5)、(6)式より
z(0) = {76.0[cm]×13.6[g/cm^3]×g}×(1[g]/0.00129[g/cm^3])/g
　　　= 8.01×10^5[cm]　　（重力加速度 g は打ち消しあって消える）
　　　= 8.01×10^3[m] 。

(2)式より、
p(800[m])=p(0)e^{-800[m]/(8.01×10^3[m])}
です。

お礼

詳しくありがとうございます。たすかりました！！

回答No.3

noname#185706

訂正です。

＃１の(5)式で、V の単位に間違いがありました。この問題においては、V は体積そのものではなく単位質量あたりの体積ですから、その単位は[cm^3]ではなく[cm^3/g]です。よって、(5)式は
pV = 760[mmHg]×(1/0.00129[g/cm^3])　 　(5)
となるべきです。それに伴い、その数行下の
z(0) = ・・・×(1[g]/・・・
の式は
z(0) = ・・・×(1/・・・
となります。

＃２さんの回答を読んで気付きました。

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.2

htms42

ｐＶ＝ｃＴという式は気体の状態方程式です。
普通は１ｍｏｌの気体に対してｐＶ＝ＲＴという式が使われています。Ｒは気体定数です。
（高校、大学の物理や化学の分野で出てくるのはこの式ですね。この式をｍｍＨｇという圧力単位で使うという事もほとんどありません。この問題の出た分野は物理、化学の分野以外ではないでしょうか。表現が分かりにくくなっています。）

ＰＶ＝ＲＴで考えます。
高さによる圧力変化は気体の密度（粒子数の分布）が高さによって変化するという式を使っています。
ｐ(ｚ)＝ｐ(０)ｅ^(－ｍｇｚ／ＲＴ)と言う式が熱力学の教科書には出てきています。
ｍは１モルの空気の質量ですから指数関数の中身は１モルの気体の位置エネルギーをＲＴで割ったものになっています。ボルツマン分布でよく出てくる形になっていますから理解しやすいでしょう。（ｃ＝Ｒ／ｍです。）

ｚ(０)＝ＲＴ／ｍｇ
Ｒ＝８．３[Ｊ／(Ｋ・ｍｏｌ)]
Ｔ＝２７３[Ｋ]
ｍ＝２９×１０^(-3)[ｋｇ]
ｇ＝９．８[ｍ／ｓ^2]
で計算するとｚ(０)が得られます。
（単位のｇと重力の加速度のｇとを区別するために単位はすべて[　]の中に入れておきます。）

この問題ではｚ(０)＝ｃＴ／ｇを与えられている値から求めるようになっています。
ｐＶ＝ｃＴという式が「単位質量について」と断られていますからＶは単位質量当たりの体積です。
これは密度の逆数になります。
Ｖ＝（１／０．００１２９）[ｃｍ^3／ｇ]
ｐ＝７６．０×１３．６[ｇ／ｃｍ^2]×ｇ
ｚ(０)＝ｐＶ／ｇ
　　　＝７６．０×１３．６／０．００１２９[ｃｍ]
　　　＝７６．０×１３．６／０．１２９[ｍ]
これで８０００ｍが出てきます。

重力の加速度の値が与えられていませんが圧力にｍｍＨgを使う事で式の中から消えるようになっています。

お礼

回答ありがとうございます。きちんと理解できました＾＾