ポアソンの関係式を使って絶対温度変化を求めたいのですが・・。

質問

熱力学についてお聞きしたいのですが、
大気の温度分布、密度分布を求める問題です。

重力の下での力のつりあいと気体の状態方程式を用いると
高度Zにおける圧力Ｐ（z）は

P(z)=Po×exp((-Mg/R)∫1/T(z)dz)

で与えられています。Poは地表の圧力、Mは空気の1モルの平均分子量
gは重力加速度、Ｒは気体定数です。積分区間は[0～Z]までです。

ここからが問題なのですが、
空気が上昇すると断熱膨張をして気体の温度が下がる。
断熱過程におけるポアソンの関係式と上式の圧力の関係式を
用いると、高度zにおける絶対温度Ｔの変化と圧力P(z)は

T(z)=αz+To(K/km)　P(Z)=Po((αz+To)/To)~Ｎ

で表されることを示せ。ここでα=-(γ-1)Mg/γRであり、Toは地表の温度
である。γ>1でαは負。N=γ/(γ-1)である。

という問題です。色々サイトをめぐり文献をみたのですが
その中に結果のような式が載っているのはあったのですが
その過程がなく困っています。どなたか途中式を考えていただけないでしょうか。
ポアソンの関係式の内容程度の知識しかなく道筋すらわかりません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

>dP/P＝∫pγα/(γ-1)(αz+T)dzまでいったのですが
そこから普通に積分でしょうか？それともここまでが間違っているのでしょうか？

ということですが、少し違います。正しくは、
dP/P＝γα/{(γ-1)(αz+T0)}dz
です。左辺は分かりますね。右辺は次のようにします。
dP/P＝γ/{(γ-1)＊α/(αz+T0) dz
こうしてみると積分の公式を思い出しませんか？両辺の積分（定積分）を実行すると。
ln(P/P0)＝γ/{(γ-1)＊ln{(αz+T0)/T0}
となります。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
PO、TOが分子にありαがきえているのは積分区間
によるものだったのですね。普通に不定積分をしていて
混乱していました。
区間は左辺が[P0～P]で右辺は[0～Z]でうろ覚えの公式で
計算したところ結果が一致しました。
本当にありがとうございました。大学の単位が取れたら
ojisan7さんのおかげです☆

回答No.2

ojisan7

>dT=αdzまでいったのですが区間は[T～To]でいいのでしょうか？

ということですが、それで良いと思います。それで、Tを求めることができます。No1で近似式と言ったのですが、それは誤りです。訂正します。

P(z)の方は、今、求めたT(z)=αz+Toを、dP=-(PMg/RT)dzに代入すれば求めることができます。わたしも、確認のために計算しましたが、確かに目標とする式が得られました。

補足

再度レスありがとうございます。

dP/P＝∫pγα/(γ-1)(αz+T)dzまでいったのですが
そこから普通に積分でしょうか？それともここまでが間違っているのでしょうか？
左辺はわかるのですが右辺の分数式に関して積分公式を失念してしまい、教科書を
みてもなく、途方にくれています。
大学の友達にメッセで聞いたところみんな即答できず・・。
よろしければ、ご指導お願いできないでしょうか。

回答No.1

ojisan7

大変お困りのようですので、ポイントとなる式だけ書いてみます。
質問者は積分形で書いていますが、微分形の方が使いやすいと思います。
dP=-ρgdz=-(PMg/RT)dz　・・・（１）
ポアソンの関係式はPV^γ＝constですが、これを、
TP^{(1-γ)/γ}=const ・・・（２）
とします。（２）をdP/dTの微分形で表して下さい。
以上です。
あとは、これらの式を変形するだけです。Pを消去すれば、T(z)=αz+Toが得られます(ただし、この式は近似式です）。Tを消去すれば、P(Z)=Po((αz+To)/To)^Ｎが得られると思います。

お礼

ありがとうございます。
早速ポイントを参考にして解いてみます。
変形に関してわからないことがあったら
質問するかもしれませんがその際はまた、どうかよろしくお願いします。

補足

すみません。
途中でつまってしまいました。（2）を
対数微分して
d(logTP~-(γ-1/γ))=dT/T-(1-γ~-1)dP/P=0として
この式に(1)を代入して
dT=αdzまでいったのですが区間は[T～To]でいいのでしょうか？

もうひとつP(z)の方は考え付かずに停滞しています。
上述の式を
dP/P=dT/T(1-γ~-1)に変形して先に進めません。

もしよろしければアドバイスをお願いします。