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ポアソンの関係式を用いた絶対温度変化の求め方
- ポアソンの関係式を使って絶対温度変化を求める方法について詳しく教えてください。
- 重力の下での力のつりあいと気体の状態方程式を用いると高度Zにおける圧力P(z)を求めることができます。
- 空気が上昇すると断熱膨張をして気体の温度が下がることを利用して、ポアソンの関係式と圧力の関係式を用いて絶対温度の変化を求めることができます。
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>dP/P＝∫pγα/(γ-1)(αz+T)dzまでいったのですが そこから普通に積分でしょうか？それともここまでが間違っているのでしょうか？ ということですが、少し違います。正しくは、 dP/P＝γα/{(γ-1)(αz+T0)}dz です。左辺は分かりますね。右辺は次のようにします。 dP/P＝γ/{(γ-1)＊α/(αz+T0) dz こうしてみると積分の公式を思い出しませんか？両辺の積分（定積分）を実行すると。 ln(P/P0)＝γ/{(γ-1)＊ln{(αz+T0)/T0} となります。
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- ojisan7
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>dT=αdzまでいったのですが区間は[T～To]でいいのでしょうか？ ということですが、それで良いと思います。それで、Tを求めることができます。No1で近似式と言ったのですが、それは誤りです。訂正します。 P(z)の方は、今、求めたT(z)=αz+Toを、dP=-(PMg/RT)dzに代入すれば求めることができます。わたしも、確認のために計算しましたが、確かに目標とする式が得られました。
補足
再度レスありがとうございます。 dP/P＝∫pγα/(γ-1)(αz+T)dzまでいったのですが そこから普通に積分でしょうか？それともここまでが間違っているのでしょうか？ 左辺はわかるのですが右辺の分数式に関して積分公式を失念してしまい、教科書を みてもなく、途方にくれています。 大学の友達にメッセで聞いたところみんな即答できず・・。 よろしければ、ご指導お願いできないでしょうか。
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
大変お困りのようですので、ポイントとなる式だけ書いてみます。 質問者は積分形で書いていますが、微分形の方が使いやすいと思います。 dP=-ρgdz=-(PMg/RT)dz ・・・（１） ポアソンの関係式はPV^γ＝constですが、これを、 TP^{(1-γ)/γ}=const ・・・（２） とします。（２）をdP/dTの微分形で表して下さい。 以上です。 あとは、これらの式を変形するだけです。Pを消去すれば、T(z)=αz+Toが得られます(ただし、この式は近似式です）。Tを消去すれば、P(Z)=Po((αz+To)/To)^Ｎが得られると思います。
お礼
ありがとうございます。 早速ポイントを参考にして解いてみます。 変形に関してわからないことがあったら 質問するかもしれませんがその際はまた、どうかよろしくお願いします。
補足
すみません。 途中でつまってしまいました。（2）を 対数微分して d(logTP~-(γ-1/γ))=dT/T-(1-γ~-1)dP/P=0として この式に(1)を代入して dT=αdzまでいったのですが区間は[T～To]でいいのでしょうか？ もうひとつP(z)の方は考え付かずに停滞しています。 上述の式を dP/P=dT/T(1-γ~-1)に変形して先に進めません。 もしよろしければアドバイスをお願いします。
お礼
ご丁寧にありがとうございました。 PO、TOが分子にありαがきえているのは積分区間 によるものだったのですね。普通に不定積分をしていて 混乱していました。 区間は左辺が[P0～P]で右辺は[0～Z]でうろ覚えの公式で 計算したところ結果が一致しました。 本当にありがとうございました。大学の単位が取れたら ojisan7さんのおかげです☆