図形問題

質問

他人の質問への回答で、解らないところがあるので、便乗という形で質問させていただきます。

http://okwave.jp/qa/q6381847.html

の質問への回答#2で、赤い三角形が正三角形だという前提で証明が進んでいるのですが、赤い三角形がなぜ正三角形なのか、解りません。

解るかた、教えてください。

回答No.8

momordica

問題の回答を書いた本人です。
この質問は見ていたのですが、家のパソコンのキーボードが壊れていて書き込みが
できませんでした。
随分流れてしまいましたが、責任はありそうなので一応回答させてもらいます。

まず、誤解のないように言っておきますが、私は別にこの問題を知っていたわけでは
ありません。
図の作られ方を予め知っていなければ解けないのではないか、という疑問に関しましては、
私自身が反例ですので、明確にNOです。

この種の問題は、#6さんもご指摘の通り、常にこのような初等幾何的手法で解けるわけ
ではありません。
角度などをでたらめに決めれば、まず解ける物はできないと思っていいでしょう。
逆に言えば、これが中学生や小学生対象の問題として出題されたということは、図の中の
角度などは全て作為的に配置されたものであり、予め解法の用意されたパズルのような
ものであるということです。

後は、パズルと割り切って、#2さんのおっしゃる通り試行錯誤するだけです。
この種の問題の場合、図に示された角度以外に、角度の特定できる正多角形やその一部
である図形（直角二等辺三角形など）を作って、それを足がかりに解くことになることが多い
ようです。
そういう視点で見れば、36°や72°と言う角度から正五角形を連想するのと同様、図の
左側の30°という角度は、この付近に正三角形かそれに類する図形が存在することを
強く臭わせます。
つまり、あそこの部分に補助線を入れることで正三角形ができることに気付けるのは、
最初からそれがそのあたりにないかと思って図を見ているからです。

以上は正三角形になることを「疑う」理由ですが、もちろんこれで問題の部分が正三角形
であると決めつけることなどできませんので、実際にそのことを確認（証明）することが
必要です。

ちなみに、正五角形の方は納得されているようですが、それはどのように納得されましたか？
#1さんがお悩みの通り、問題の図形から、辺の長さがすべて等しくなるように点をとって
五角形を作り、それが正五角形であることを、この図形から演繹的に導くのは実はそれほど
簡単ではありません。
この場合、「問題の二等辺三角形に線を加えて作った五角形が正五角形になる」ということを
示すのではなく、逆に「正五角形の対角線を結ぶことで問題の二等辺三角形と同じものが
できる」ということを確認することになります。
それが確認できれば、問題の三角形と辺を共有するように正五角形を描けば、その対角線を
結んだ三角形はもとの三角形とぴたりと重なる（合同）ことになるので、残り一つの頂点も
この正五角形の頂点と一致する、つまり、この3点を頂点に持つ正五角形が描けることが
わかります。

正三角形の方もこれと全く同じです。
「問題の図の中の点と五角形の頂点を結んでできる三角形が正三角形になるる」と言う
ことを示すのではなく、「正五角形の内側にこれと一辺を共有するように正三角形を書き、
これらの頂点を結んでできる図形が問題の物と相似（辺の長さを等しければ合同）である」
ということを確認するわけです。

#6さんが詳しく書かれているとおり、このように正五角形と正三角形を組み合わせてできる
図形は各部分の角度がすべて決定でき、問題の図形と一致することが示されます。
あとは、こちらの図形をもとに、問われている部分の角度を求めるだけです。

なお、最初に正三角形の存在を疑う根拠だと言った30°の角についてですが、#6さんの図で、
BA=BF=BCですから、3点A, F, Cは点Bを中心とする同一円周上の点であり、∠ABFと
∠ACFは、同じ弧に対する中心角と円周角の関係になっています。
したがって、∠ACFは正三角形の内角の1/2、すなわち30°となり、この部分は、最初に
疑った通り、正三角形と関連のある角だったわけです。

回答No.7

M_51

No.4です。少し補足します。

Xを24°であるという前提にしているのではありません。赤の三角形を正三角形と仮定した場合Xは24°になるというだけのことです。そして、Xが24°であれば矛盾はありません。24°でなければ、結果に矛盾が生じます。24°でない全ての角度では矛盾が生じるから誤りである。したがって、24°は正しい。そういう証明法です。

32°、40°、54°、18°の場合では、Xの値は当然24°にはなりません。この場合は、赤の三角形が正三角形と仮定して証明する方法自体が成り立たなくなります。この場合、赤の三角形は正三角形ではないのですから。

こうなると、Xの値を少しずつ変えて、矛盾のない角度を求めることになります。実務では、コンピュータで、このようなカットアンドトライ方式で答えを求める方が楽な場合の方が多いのも事実です。でも、数学の問題としてはどうかなという問題です。

回答No.6

mnakauye

これは、そもそも、五角形ＡＢＣＤＥの辺ＡＢを一辺とする正三角形ＡＢＦを
書いてみると、というところから始まるわけです。（左の図）

　ＣＦ、ＤＦを結ぶと、
三角形ＢＣＦは、ＢＦ＝ＡＢ＝ＢＣだから二等辺三角形。
したがって∠ＣＢＦ＝正五角形の頂角１０８度ー∠ＡＢＦ（つまり６０度）
＝４８度ですから、
　二等辺三角形の低角である∠ＢＣＦ＝(１８０－４８)割る２で６６度。
このことから∠ＤＣＦ＝五角形の頂角１０８度ー６６度＝４２度
ということです。

　一方三角形ＡＦＥも二等辺三角形で、∠ＦＡＥが∠ＦＡＢと同じ大きさ
すなわち、五角形の頂角ー６０度ですから、
三角形ＡＢＦと三角形ＡＦＥは合同です。

　このことから、三角形ＣＤＦと三角形ＥＤＦは、三辺相等で合同。

つまりは線分ＤＦは頂角を二等分するから５４度です。

　以上から、もともとの問題である三角形は三角形ＡＣＤと内部の点Ｆを含めて
同じものになるということです。

　底角７２度と頂角３６度から、正五角形を思い浮かべたmomordicaさんは、
おみごとというわけです。

　しかし、一般に元の問題と同種のもので、条件の角度が違ってしまうと、∠ｘは、
一意に決まるにもかかわらず、特殊な場合を除いて三角関数の力を借りないと、
角度は求められません。
（つまりは三角形の内角の和は１８０度という条件だけでは無理）

　すなわちいつもmomordicaさんのような方法が通用するとはいえないのです。
今回はmomordicaさんの見つけられた図形に、たまたま一致したというだけのことです。

　（「たまたま」は「一致した」の修飾で、momordicaさんの見つけられたことを
低めた発言ではないので誤解のないようにお願いします。彼（女）の思い付きが
すばらしいことに変わりはありません。）

ですから、
「この方法では、xが24°であることを証明（確定？）出来ないと思うのですが・・・」
といわれるのはそのとおりなのです。
三角形の内角の和は１８０度という条件だけでは無理なのです。

回答No.5

naniwacchi

#2です。

＞結果としてそうなっていると見るためには、
＞ということを知らないと無理じゃないかと思いますけど・・・

少なくとも、問題の二等辺三角形が正五角形の一部になることに
気付かないと解けないと思います。

普段からそういう図形をよく見ていることも大事でしょうし、
センスも考える要素になってしまうかもしれませんね。

お礼

＞少なくとも、問題の二等辺三角形が正五角形の一部になることに気付かないと解けないと思います。

これに関して異論はありません。

が、正三角形は・・・

回答No.4

M_51

この問題は、まず正五角形と正三角形から問題図を作ってから、正五角形と正三角形を消したものです。このことに気付くかどうかです。気付いてしまえばただ計算するだけです。

底辺にある二つの頂点が、内角がともに72°である三角形。これは、正五角形にすっぽり収まります。
正五角形の外角は、72°ですから、正五角形のある辺と平行です。これは、正五角形の対角線にほかなりません。

赤い三角形がなぜ正三角形なのか？
これは、この時点ではわかりません。正三角形っぽいから正三角形として話を進めただけです。

三角形の内角和は180°であることから、Xの隣の角度は12°になります。問題図は、大きな三角形を「42°と54°とA°」「30°と24°とB°」「18°と12°とC°」の三つの三角形に分割した形です。
図を見るとA+B+C=360にならなければいけません。内角の和が180°から、A=84、B=126、C=150となります。
合計すれば、360ですから、矛盾がありません。

この時点で、赤い三角形が正三角形である前提が正しいことがわかりました。

この問題の解答は、ここまでしなければいけませんでした。

お礼

36°、72°、72°の三角形から、正五角形を連想するところまでは解りました。

> 三角形の内角和は180°であることから、Xの隣の角度は12°になります。

これは、xが24°である前提での話ですよね。

xを求める問題で、xを24°と仮定する時点で、私としては？？？なのです・・・

たとえば、与えられている角度30°、42°、54°、18°が、32°、40°、54°、18°だったとしても、xを24°と仮定すると、xの隣は12°で、「40°と54°とA°」「32°と24°とB°」「18°と12°とC°」で、A＝86、B＝124、C＝150、となり、A＋B＋C＝360で矛盾しないことになります。

でも、30°、42°、54°、18°の場合と、32°、40°、54°、18°の場合では、xの値は異なりますよね？

この方法では、xが24°であることを証明（確定？）出来ないと思うのですが・・・

回答No.3

hinonon

またまたすみません。
問題の三角形から、コンパスでもあれば全ての辺の長さが等しい五角形が描けるのは分かります。
でも、例えばひし形は全ての辺の長さは等しいけれど、角度が違うから正四角形ではないですよね？それと同じような感じで、なぜこの五角形が正五角形なのかがわかりません。
問題の三角形が二等辺三角形なので正五角形の可能性はありますが、もしこれが本当に正五角形ならば、角度が72゜と36゜の二等辺三角形でなければ正五角形にはならなって事ですし、知らないとできない問題のような気がします。
今の中２はこんな問題が出るんですね。
う゛ーん、難しいです。

お礼

＞例えばひし形は全ての辺の長さは等しいけれど、角度が違うから正四角形ではないですよね？それと同じような感じで、なぜこの五角形が正五角形なのかがわかりません。

それは、この問題の三角形が36°、72°、72°だからだと思いますけど。
確かに、知らないと思いつきそうに無いですけどね。

回答No.2

naniwacchi

おはようございます。
確か、この問題は算数オリンピックで出ていた問題だと記憶しています。

「証明」というよりも、
・正五角形の一辺に対して、正三角形を描いて
・その正三角形の頂点と正五角形の頂点を結んでみたら
・図のような角度になった。
・そして、最後に三角形の「まわり」となる部分を消して残ったところを問題にしている。

というように、「結果」としてそうなっていると見た方がよいと思います。

算数オリンピックでは、他にも正五角形や正三角形を付け加えることで
解く問題がいくつかあったと思います。
「補助線」が「線」ではなく、「補助図形・多角形」みたいな感じですね。

いまの問題は、全体の三角形が底角が 72度（頂角が 36度）の二等辺三角形なので、
正五角形を描いてみれば・・・という発想に至るということになります。
試行錯誤した結果、わかるという問題ですね。

お礼

結果としてそうなっていると見るためには、

『・正五角形の一辺に対して、正三角形を描いて
・その正三角形の頂点と正五角形の頂点を結んでみたら
・図のような角度になった。
・そして、最後に三角形の「まわり」となる部分を消して残ったところを問題にしている。』
ということを知らないと無理じゃないかと思いますけど・・・

回答No.1

hinonon

回答ではなくてすみません。
私も質問者様と同じ意見です。
その質問と回答を見ましたが理解できず、でもその回答を絶賛されている方もいらっしゃったので、単に私がバカなだけなのだと思ってました。
私は正五角形の時点で、なぜ問題の三角形が正五角形の中にすっぽりおさまっているのかも分かりませんでした。。。

お礼

ありがとうございます。
問題の三角形の3つの頂点が、正五角形の3つの頂点と重なる、ということは、その回答を見てなるほどと思いましたが、その発想はたしかにありませんでしたねぇ。