導関数について教えてください

質問

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/10/d02.html
の2010年同志社大学の全学部理系の数学のIの問題学わかりません。
どのように解いたらいいのか教えてください
お願いします。（＾－＾）

回答No.1

muturajcp

(1)
(d/dx)log(2x+√(4x^2+1))=2/√(4x^2+1)
(d/dx)(x√(4x^2+1))=(8x^2+1)/√(4x^2+1)
(イ)
={2√(4x^2+1)-(d/dx)(x√(4x^2+1))}√(4x^2+1)
=2(4x^2+1)-(8x^2+1)
=1
∫_{0～1}√(4x^2+1)dx
=∫_{0～1}[{(1/2)(d/dx)x√(4x^2+1)}+(1/4){(d/dx)log(2x+√(4x^2+1))}]dx
=[{(1/2)x√(4x^2+1)}+(1/4)log(2x+√(4x^2+1))]_[0～1]
={(√5)/2}+{log(2+√5)}/4
(2)
∫_{0～1/2}[{sin(πy)}^2]dy
=∫_{0～1/2}[{1-cos(2πy)}/2]dy
=[(y/2)-{sin(2πy)/4π}]∫_{0～1/2}
=1/4
f(x)=Ae^{2x}+B
∫_{0～1}e^{-y}f(y)dy
=∫_{0～1}(Ae^y+Be^{-y})dy
=[Ae^y-Be^{-y}]_{0～1}
=(e-1)A+(1-e^{-1})B
∫_{0～1/2}f(y)dy
=∫_{0～1/2}(Ae^{2y}+B)dy
=[Ae^{2y}/2+By]_{0～1/2}
={(e-1)/2}+(1/2)B
f(x)=[e^{2x}/{2(e-1)}]{(e-1)A+(1-e^{-1})B}+{(e-1)/2}+(1/2)B+(1/4)
=e^{2x}{(A/2)+B/(2e)}+(e/2)+(B/2)-(1/4)=Ae^{2x}+B
(A/2)+B/(2e)=A
(e/2)+(B/2)-(1/4)=B
B=e-(1/2)
A=1-(1/(2e))=(2e-1)/(2e)