重積分の問題が分かりません。

質問

Ｅ：｛原点中心，半径Ｒの円の第一象限の部分｝　という図形の重心を求める問題が分かりません。

重心の座標を求める式として、

Ｘｃ＝1/Ｗ ∫[Ｅ]　ｘρｄＳ
Ｙｃ＝1/Ｗ ∫[Ｅ]　ｙρｄＳ
Ｗ＝∫[Ｅ]ρｄＳ　　ただしρ＝1。

が与えられています。

何方か分かる方がいらっしゃったら途中の解説をよろしくお願いします。

回答No.2

do_ra_ne_ko · ベストアンサー

l半径 Ｒ の円の方程式は、x^2＋ｙ^2 ＝Ｒ＾2 です。

第１象限ということは、ｘ≧0, y≧0 ということです。
だから　ｙ＝√（Ｒ＾2－x^2)

x＝x, x＝ｘ＋ｄｘ　の微小な縦帯を考えると、ｙ＝０から　ｙ＝√（Ｒ＾2－x^2)
この微小面積　ｄＳ＝　ｄｘ√（Ｒ＾2－x^2)

Ｘｃ＝1/Ｗ ∫[Ｅ]　ｘρｄＳ＝1/Ｗ ∫[Ｅ]　ｘρｄｘ√（Ｒ＾2－x^2)
　＝ρ/Ｗ ∫[Ｅ]　ｘ√（Ｒ＾2－x^2)ｄｘ

　これをｘ＝０　からｘ＝　Ｒ　まで積分すればよいだけです。

重積分などどこにも出てきません。

半径ｒ、角Θの極座標を使うのなら、
　ｄＳ＝ｒｄΘｄｒ、　ｘ＝ｒcosΘ　なので、

Ｘｃ＝1/Ｗ ∫[Ｅ]ρ　ｘｄＳ＝1/Ｗ ∫∫[Ｅ]ρ　ｒ cosΘ　ｄｒ ｒｄΘ
＝（ρ/Ｗ） ∫∫[Ｅ]　ｒ＾2ｄｒ cosΘ ｄΘ
のように２重積分とはなりますが、半径rと角度Θは独立して変化するので

＝（ρ/Ｗ） ∫[Ｅ]　ｒ＾2ｄｒ ∫cosΘ ｄΘ
として積分すればよい。これをｒ＝０からＲまで、　Θ＝０からπ/2 まで積分すればよい。

＝（ρ/Ｗ）（R^3/3)(1)

＝{ 4/(πＲ＾2）} {(R^3)/3}
＝　(4/3）（Ｒ/π）
＝　4R/(3π）

Ｙｃ　の方は自分でやってください。

回答No.1

Tacosan

単に代入するだけでしょ? どこが分からないの?