- ベストアンサー
重積分の問題が分かりません。
E:{原点中心,半径Rの円の第一象限の部分} という図形の重心を求める問題が分かりません。 重心の座標を求める式として、 Xc=1/W ∫[E] xρdS Yc=1/W ∫[E] yρdS W=∫[E]ρdS ただしρ=1。 が与えられています。 何方か分かる方がいらっしゃったら途中の解説をよろしくお願いします。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
l半径 R の円の方程式は、x^2+y^2 =R^2 です。 第1象限ということは、x≧0, y≧0 ということです。 だから y=√(R^2-x^2) x=x, x=x+dx の微小な縦帯を考えると、y=0から y=√(R^2-x^2) この微小面積 dS= dx√(R^2-x^2) Xc=1/W ∫[E] xρdS=1/W ∫[E] xρdx√(R^2-x^2) =ρ/W ∫[E] x√(R^2-x^2)dx これをx=0 からx= R まで積分すればよいだけです。 重積分などどこにも出てきません。 半径r、角Θの極座標を使うのなら、 dS=rdΘdr、 x=rcosΘ なので、 Xc=1/W ∫[E]ρ xdS=1/W ∫∫[E]ρ r cosΘ dr rdΘ =(ρ/W) ∫∫[E] r^2dr cosΘ dΘ のように2重積分とはなりますが、半径rと角度Θは独立して変化するので =(ρ/W) ∫[E] r^2dr ∫cosΘ dΘ として積分すればよい。これをr=0からRまで、 Θ=0からπ/2 まで積分すればよい。 =(ρ/W)(R^3/3)(1) ={ 4/(πR^2)} {(R^3)/3} = (4/3)(R/π) = 4R/(3π) Yc の方は自分でやってください。
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
単に代入するだけでしょ? どこが分からないの?