数学等比数列についての質問です

質問

等比数列a1,a2,a3において
S=a1+a2+a3+…+an,,
P=a1a2a3….an,
T= a1分の一、＋a2分の１、＋a3分の１、
+ …..an分の１とおくと
　n 2 n
S＝PTが成り立つことを証明せよ

n 2 nは一応SPTそれぞれの右上についています

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

(a_n)が等比数列なのですから、S,Tを具体的に
計算すれば出てきますが、ここでは別の方法で。

今、(a_1, a_2, .... )を公比rの等比数列とします。
今、Tの和の順を逆に見て，
T=1/a_n + 1/a_(n-1) + 1/a_(n-2) + ... + 1/a_1と見た時、
(1/a_n, 1/a_(n-1), 1/a_(n-2), .... )も公比rの
等比数列になっていることに注目します。
初項の比を考えれば
T=S*((1/a_n)/a_1) => S=a_1 a_n T
である事が分かります。即ちS^n = (a_1 a_n)^n * (T^n)

一方、
a_1 a_n = a_1 a_n
a_2 a_(n-1)=(a_1 * r) (a_n / r) = a_1 a_n
以降同様に
a_3 a_(n-2) = a_1 a_n
...
a_j a_(n-j+1) = a_1 a_n
...
a_n a_1 = a_1 a_n
辺々掛け、P^2 = (a_1 a_n)^nであるから
S^n = P^2 T^nが成り立ちます。