重積分の変域に関して(基本的な事です…orz)

質問

いつもながら、考え方に自信が持てないため
回答者の皆様にはお世話になります。

∫∫(x+y)dxdy　[変域：:(x-1)^2≦y≦-x+1]

の変域ですが、(x-1)^2≦-x+1,
x^2-2x+1≦-x+1,
x^2-x≦0,
x(x-1)≦0,

∴0≦x≦1と単純に考えてもいいのでしょうか？
ご指導願います。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

こんばんは。頑張っていますね。

＞[変域：:(x-1)^2≦y≦-x+1]

　これは積分範囲のことではないでしょうか。
　でしたら、この不等号で表される範囲は添付図のように、放物線と直線で囲まれる範囲になりますので、 0≦x≦1 で構いません。

＞∴0≦x≦1と単純に考えてもいいのでしょうか？

　積分範囲の同値関係を崩していなければ構いません。
　ただ不等式を変形していると同値関係が怪しくなる恐れがありますので、図示して考えると良いと思います。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

いつもお世話になり、ありがとう御座いますMr_Hollandさん。

>>これは積分範囲のことではないでしょうか
その通りです、表現が微妙でした…orz

>>ただ不等式を変形していると同値関係が怪しくなる恐れがあります
以前の無理不等式や同値変形の課題ではその部分が難しく感じました。

今回は分かり易いグラフまで付けていただいて、本当にありがとう御座います！

回答No.5

info22_

#3です。

補足します。
>[変域：:(x-1)^2≦y≦-x+1]
これをyについて解けば
0≦y≦1
となります。
このときxの範囲は[1-√y≦x≦1-y]となります。
決して[0≦x≦1]となりませんので気をつけてください。
したがって無条件に[0≦x≦1]が積分範囲になるわけではありません。

A#3で解答したようにy→xの順に逐次積分しても良いですし、
x→yの順に逐次積分しても良いです。
後者の場合の積分範囲は前者と異なり以下のようになります。

∫∫(x+y)dxdy=∫[0,1] {∫[1-√y,1-y] (x+y)dx} dy
=∫[0,1] {[x^2/2 +xy] [x:1-√y,1-y]}dy
=∫[0,1] [{(1-y)^2/2 +(1-y)y}-{(1-√y)^2+(1-√y)y}]dy
=∫[0,1] {-y^2/2 +y^(3/2)-(3/2)y+y^(1/2)}dy
=3/20

なお、A#3のy→xの順に逐次積分しても当然同じ結果の「3/20」となることは確認済みです。

お礼

ご丁寧な解答、ありがとう御座います。

一度、x→yの順に逐次積分する方法も試して検算してみます。
複数の方法で同じ結果になるのを確認できれば、自分でも答えあわせができそうです。(…見当違いさえなければ…)

ともあれ、解析学の試験が週末なので、頑張ります。
ありがとう御座いました！

回答No.4

alice_44

A No.1 に致命的な誤字があったので、陳謝と訂正：

0≦x≦1 は ∃y, (x-1)二乗≦y≦-x+1 の必要十分条件

でした。これはいかん。
この部分が、「y とのからみ」ですからね。

お礼

>>陳謝と訂正

ひたすら皆様に教えを請う立場の私にまで、丁寧にありがとう御座います。

>>必要十分条件
この辺の証明問題が苦手なので、いろいろと意識しながら問題を解いていく様に心掛けたいです。

回答No.3

info22_

>∴0≦x≦1と単純に考えてもいいのでしょうか？
重積分なのでyとのからみがありますので単純に0≦x≦1とは行きません。
あくまでも、[変域：:(x-1)^2≦y≦-x+1]の元での[0≦x≦1]です。

したがって、重積分を逐次積分に変換すると以下のようになります。
∫∫(x+y)dxdy
=∫[0,1] {∫[(x-1)^2,1-x] (x+y)dy}dx
=∫[0,1] [xy+y^2/2] [y:(x-1)^2,1-x] dx
=∫[0,1] {x(1-x-(x-1)^2)+(1/2)((1-x)^2-(x-1)^4)} dx

この先は、展開すれば単なるxのべき乗の積分になるので自分で出来ますね？

お礼

いつも的確なご指導、ありがとう御座います。

>>[変域：:(x-1)^2≦y≦-x+1]の元での[0≦x≦1]です
この点は注意して意識していきたいと思います。

>>この先は…自分で出来ますね？

はい、回答者の皆様のお陰で無事に解けました、ありがとう御座います。

回答No.1

alice_44

＞ 0≦x≦1と単純に考えてもいいのでしょうか？

何を 0 ≦ x ≦ 1 と考えているのか、貴方の考えが見えてこないので、
何とも言い難いのですが…

その式変形によって、与式の重積分を反復積分
∫[0 ≦ x ≦ 1] ∫[(x-1)^2 ≦ y ≦ -x+1] (x+y) dy dx に変形したのなら、
それで ok です。

0 ≦ x ≦ 1 は、∀y, (x-1)^2 ≦ y ≦ -x+1 の必要十分条件ですから。

お礼

いつもお世話になります、alice_44さん！

>>何を 0 ≦ x ≦ 1 と考えているのか、
積分の範囲です。分かりにくくて申し訳ありません。

>>∫[0 ≦ x ≦ 1] ∫[(x-1)^2 ≦ y ≦ -x+1] (x+y) dy dx に変形
まさにその通りです！
自信がもてました、ありがとう御座います。