どうしても分からないので教えてください。お願いします。

質問

どうしても分からないので教えてください。お願いします。

電荷Q(C)と2Q(C)が2ｍ離れている。点P(Qと2Qの中点から√3ｍ上にある)での電位を求めよ。
解:V=3Q/8πε0[V]

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

Qと2Qの垂直二等分線上の電場をy軸の座標yの関数としてもとめ、それを∞から√3まで積分します。Qの座標を(-1, 0）、2Qの座標を(1,0)とします。(0,y)までの距離はどちらからも√(1+y^2)です。よって電場のベクトルは（εoは略してεと書いておきます。）
E=(1/4πε)[{Q/(√(1+y^2))^2}r↑+{2Q/(√(1+y^2)}r'↑]...(1)
となります。ここでr↑とr'↑は、それぞれQあるいは2Qから(0,y)に向かうベクトルで絶対値を1にしたものです。x軸とQから（0, y)に向かうベクトルの角度をθとすれば、2Qから(0, y)に向かうベクトルとx軸との角度はπ-θです。すると(1)は次のようになります。
E={(Q/4πε)/(1+y^2)}[(cosθ, sinθ)+2(cos(π-θ), sin(π-θ）)]
={(Q/4πε)/(1+y^2)}[(cosθ, sinθ)+2(-cosθ, sinθ)]
={(Q/4πε)/(1+y^2)}[(-cosθ, 3sinθ)]...(2)
(2)ではベクトル部分は縦にかけないので成分を横並びに書いております。ここで
sinθ=y/√(1+y^2)...(3)
cosθ=1/√(1+y^2)...(4)
となっていますからこれを(2)に代入します。
E={(Q/4πε)/(1+y^2)}[(-1/√(1+y^2), 3y/√(1+y^2))]...(5)
電位は
V=-∫E↑・ds↑...(6)
でもとめます。積分範囲は∞からもとめる位置rまでですが、今の場合初めに書いたようにy=∞からy=√3までです。ds↑=(0,dy)になりますので(6)は結局
V=-(3Q/4πε)∫y/(1+y^2)^(3/2)dy...(7)
です。ここでy=tanφとおけば
1+y^2=1/cos^2φ
dy=(1/cos^2φ)dφ
で積分範囲はtanφ=∞（φ=π/2）からtanφ=√3までです。tanφ=√3の時は1+tan^2φ=1/cos^2φ=4ですからcosφ=1/2になっています。
さて(7)は
V=-(3Q/4πε)∫{(tanφcos^3φ)/cos^2φ}dφ
=-(3Q/4πε)∫sinφdφ
=-(3Q/4πε)[-cosφ]
=(3Q/4πε)(1/2)
=3Q/8πε
となります。

お礼

本当にありがとうございます!!
助かりました!!