青チャートp424の149の数列の問題です

質問

a_{n}=8n-2 , b_{n}=6n＋2 に共通して現れる数を小さい順に並べた数列c_{n}を求めよ
解答；a_{l}=b_{m}とすると、8(n-2)＋14=6(n-2)＋14から
　　　4(l-2)=3(m-2), l≧2, m≧2
4と3は互いに素より、kを自然数として
　　　l-2=3(k-1),m-2=4(k-1)
　　　（後は省略）
　ここでなぜkはk-1にするのでしょうか。あとl≧2,m≧2の理由もわかりません。ご指導のほど宜しくお願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

貴殿ＨＮが記憶にあったのでの調査しましたが、ひとつしか見つかりませんでした。
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＞なぜkはk-1にするのでしょうか
そもそも
4(l-2)=3(m-2)

l-2=(3/4)(m-2)
ここでl-2が整数になるためには(m-2)が４の倍数
即　m-2=4k
（１）m=4k+2(k≧0)

m-2=(4/3)(l-2)
ここでm-2が整数になるためには(l-2)が３の倍数
即　(l-2)=3k'
（２）l=3k'+2(k'≧0)

実際にはk=k'と見た方がわかりよいので
（１）を6n+2 に代入して24k+14
（２）を8n-2 に代入して24k+14

ここでc(k)=24k+14ではまずいのでＮＵＭＢＥＲをひとつ減らして
c(k)=24k-10
最終的にはc(ｎ)=24ｎ-10
まあ最後に、辻褄が合うように適当にＮＵＭＢＥＲを調節してると。
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それより、気になるのは最初に
8n-2 、6n+2の表を書いた段階で全て見えるはずなので、後はどうかくかですよね。
言わずもがなの一次不定式（ディオファントス方程式）で
8l-2=6m＋2 ,ひとつ解をみつける２と２はすぐわかるから、
８（ｌ－２）＝６(mー２）となる、でしたね。
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お礼

大変よくわかりました。ご説明ありがとうございます。

回答No.1

zk43

チャートの赤とか青とかよくここには出てきますね。
何となく機械的な印象を受けるのですけど・・・

「a_{l}=b_{m}とすると、8(n-2)＋14=6(n-2)＋14から」
とありますけど、8(l-2)＋14=6(m-2)＋14ではないですか？
これを満たす最小のl,mはl=2とm=2なのでl≧2,m≧2

l-2=3(k-1),m-2=4(k-1)のようにk-1にしたときはk≧1、
l-2=3k,m-2=4kのようにkにしたときはk≧0でそれぞれ考える。
（l≧2,m≧2なので）

ということで別に深い意味はないと思います。（表記の仕方の問題）

この問題は14で最初に一致し、次からは8と6の最小公倍数24ごとに
一致していくことになる。8と6でなくても、他の数の組み合わせでも
いつもそんな風になる。

お礼

大変よくわかりました。ご説明ありがとうございます。