フェルミ分布関数の揺らぎはなぜkTなのか

質問

フェルミ分布関数の揺らぎはなぜkTなのか

フェルミ分布関数の揺らぎ（幅）がなぜkT,
あるいは2kTなのか理解できません。
これは覚えることなのでしょうか？
まさかそんなことは無いと思うので、
理解の方法を教えていただけないでしょうか。

それとも、コンピュータでグラフを書いた結果がそうだった
と理解するのですか？

以前、http://okwave.jp/qa/q6026441.htmlという質問をしたのですが、
ここに答えは載っていないように思うのです。

関連する質問＆回答でhttp://okwave.jp/qa/q419119.htmlを見たのですが、
よく分かりませんでした。

初歩的な質問で申し訳ありませんが、
よろしくお願いいたします。

回答No.3

dawn_ · ベストアンサー

横からですが、もうちょっと噛み砕いて（前の回答者様の最後の
一行を薄めて書くだけですが）。

まず、フェルミ分布関数の指揮が多分間違ってます。正しくは

f(E) = 1/(1+e^((E-μ)/kT))

でしょう（参考ＵＲＬとかを見てください）。

さて、本題。
とりあえず、E = μ±kT を代入してみましょう。
f(μ+ kT) = 1/(1+e) ～ 0.73
f(μ- kT) = 1/(1+e^(-1)) ～ 0.27

E >> μ では f(E) ～ 0, E << μ では f(E) ～ 1 ですから、
フェルミ分布関数 f(E) の値が大きく変化するのはだいたい E = μ±kT
の範囲ということになりますね。（ちなみに、値を見ればわかるように
ほぼ半値全幅に対応する（こっちはピークじゃありませんが）変化量に
なっています）
これが、「フェルミ分布関数の揺らぎはなぜkTなのか」の理由です。

＜なぜ 3kT とか 0.5 kT とかじゃないのか？＞
「その範囲内でフェルミ分布関数が大きく変化する」という定義からすれば、
べつにそれでもかまいません。しかし、前の回答者の方も仰っていたように、
これは定性的な目安です。それなら、桁が違う、といった変化が無い限りは
判りやすい数値にしておくのが良いでしょう。
特に理由もなく係数をつけるよりは、±kTということで 2 kT としておくの
が便利だと思いませんか？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E5%88%86%E5%B8%83%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

分かりやすい説明をしていただき、ありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.2

waamos

単なる定性的な目安です。

温度が0の孤立系を加熱して、温度Tで平衡状態にするとします。
系の温度がTのとき、粒子の熱エネルギーは大雑把にいえばkTです。
加熱によりf = 1 (ε＜μ) or 0 (ε＞μ)で分布していた粒子に、
熱エネルギーkTが与えられる訳ですが、フェルミ分布の深い部分では、
kT だけエネルギーが高い部分に空きが無いので遷移できません。

よってkTを与えられて励起できる粒子は
ε = μ- kT ～ ε = μの範囲に限られ、遷移後は
ε = μ ～ ε = μ+ kT の範囲に移ります。

抜けた範囲と、移った範囲の両端を取ると 2kTです。
揺らぎを kT としている記述は、エネルギーの等分配則
（粒子の１自由度に分配されるエネルギーが 0.5kT）
を念頭においているのでは無いでしょうか。

２倍も違って良いのかよ！と思われるかもしれませんが、
ケースバイケースです。

古典論で電子比熱を説明すると、異常に大きな値になります。
フェルミ分布の揺らぎ幅はこの説明に良くつかわれます。

この文脈では、0eV ～ フェルミエネルギーの幅に対して
揺らぎ幅がどれだけ大きいかが問題になりますが、
フェルミエネルギーは大体5eVぐらい、kT は300Kで20meVですので、
揺らぎが20mVが40meVになろうが、熱励起する電子の割合が
小さいという結論は変わらない訳です。

数字の上ではε = μ±kT は f = 1/(1+exp(±1))となるだけの点です。

お礼

大変丁寧な解答をしていただき、ありがとうございます。

いくつか分からない点がありましたが、
僕の勉強不足だろうと思います。
回答者様のおっしゃっていることがわかるように、
勉強に精進したいと思います。

回答No.1

htms42

ここで使っている考え方はフェルミ分布だけのものではありません。
指数関数で表されている分布すべてに当てはまるものです。
だいたいの目安として使われています。

二酸化炭素の基準振動は４つあります。
伸縮振動はν１＝１３８８／ｃｍ（対称）、ν２＝２３４９／ｃｍ（反対称）の２つです。
変角振動は２つありますが縮退しています。ν３＝６６７／ｃｍです。

これらの振動がどの程度励起しているのかを考える時にも使います。
分布はｅ^(-ｈν／ｋＴ)で表されます。
ｈν／ｋＴ＞＞１であれば励起していることを考える必要はないだろう、
ｈν／ｋＴ～１の付近を考えればいいだろう、ということです。
常温で考えるとＴ＝３００Ｋとして、ν～４３０／ｃｍです。
６６７／ｃｍは２倍弱ですから効いてきます。
伸縮振動は考える必要がありません。
（変角振動は赤外活性です。温室効果に効いてくるのはこの振動です。）

指数関数ｆ(ｘ)＝ｅ^(-x)　の特徴です。
ｘ＞＞１ではｆ(ｘ)～０としていいだろうということです。
コンピュータのない時から使われている考え方です。
ボルツマンの時代にはコンピュータはありませんでした。フェルミの時代でもありませんでした。

べき級数展開の場合は　ｘ＜＜１という近似がよく使われます。
この場合、ｘ^2＜＜ｘ　とするには１０倍程度以上の違いを考えます。ｘ＜＜０．１です。
指数関数の場合はｘが３倍程度変われば十分です。収束が速いのです。
目安はｘ～１です。
ｆ(０)＝１
ｆ(１)＝０．３６
ｆ(３)＝０．０５

ｆ(ｘ)＝ｅ^(－ｘ)の値の評価は
ｘ＝１を目安にしてｘ＜３の範囲で考える
というので十分だろうということです。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

解説いただいたことが詳しすぎて、
結局何でフェルミ分布関数の揺らぎ幅が
図に示してあるように2kTなのか
よく分かりませんでした。

ちなみに図を引用した本では
フェルミ分布関数がf(ε)=e^{(ε-μ)/kT}とされています。