現在理工学部三年で応用物理を学んでいます。

質問

現在理工学部三年で応用物理を学んでいます。
確率過程論の今学期最後の授業で問題を出されたまま授業が終わってしまって答えが気になってる問題があります。

問題
平均０の正規定常過程x[i]（i番目のxの意）の自己相関関数R(τ)が次のとき以下の問いに答えなさい。
R(0)=1, R(1)=R(-1)=0.6, R(2)=R(-2)=0.4, R(τ)=0, |τ|>2
問い（１）x[i-1]とx[i]からx[i+1]を予測する線形フィルタの係数a,bを求めよ。
ただし、予測値＝bx[i-1]+ax[i]とする
問い（２）上の予測値の自乗平均を求めよ。

大学の図書館は小さく近くに大きな書店もないので自分で調べれませんでした。
最小二乗法を使えばいいのかなというくらいしか思いつきませんが、それすらどこでどのように使うかもわからない頭の悪さです。なので、解法・解答をできるだけ噛み砕いて教えていただければありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

定常過程における自己相関関数の定義
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%9B%B8%E9%96%A2
R(k) = E[(X(i)-μ)(X(i+k)-μ)]/σ^2.

平均0より、μ = 0、R(0) = 1 よりσ^2 = 0
R(k) = E[X(i)X(i+k)].

(1)
X(i)の予測値をY(i)とする
Y(i) = aX(i-1) + bX(i-2)

解法は、参考URLに従って行った

分散V[X(i)-Y(i)]を最小にするa,bを求める
f(a,b) = V[X(i)-Y(i)]として
∂f/∂a = 0, ∂f/∂b = 0
を解けばよい。
f(a,b) = E[(X(i)-aX(i-1)-bX(i-2))^2]だから
f(a,b)はR(0)などを係数に持つ、a,bの二次関数になる。

(2)自乗平均とはY^2(i)の期待値のこと？
E[Y^2(i)]
= E(aX(i-1) + bX(i-2))^2]
= a^2R(0) + 2abR(1) + b^2(0)
あとはRの値と、(1)で求めたa,bの値を代入。

こんな感じかな・・・。

参考URL：

http://www.design.kyushu-u.ac.jp/~samejima/aip/aip7.pdf