統計学 標本平均の自乗の期待値について証明

質問

統計学に関しての質問です。
あまり数学が得意でないため基礎的な質問となってしまうかもしれませんがご容赦ください。

質問内容は、Ｅ（エックスバーの自乗）＝（σの自乗）/ｎ＋（μの自乗）をどのように証明するのかです。
このエックスバーは標本の平均です。
ちなみにＥ（ｘｉの自乗）＝（σの自乗）＋（μの自乗）となっているところまでは理解できています。また式中のｉは下付けです。

教科書では
σの自乗＝Ｅ{（ｘ－μ）自乗}＝Ｅ（ｘ自乗）－{Ｅ（ｘ）}自乗
＝Ｅ（ｘ自乗）－μの自乗　によると
と書いてあるんですが、式をどういじくってもわかりませんでした。

かなりわかりにくい式で大変お手数をおかけしますがどなたかご教授いただけると幸いです。よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

＞E(Σxi^2 + 2*ΣΣ(xi*xj))/n^2 (１つ目のΣはi=1～n, 2つ目のΣはi=1～n-1, 3つ目のΣはj=i=1～nの和）

これは、次のような表を考えるとわかるでしょう。
（表がずれていたらすみません）

　　1　　 2 　……　 j　 ……　 n
1 x1*x1 x1*x2 …… x1*xj …… x1*xn
2 x2*x1 x2*x2 …… x2*xj …… x2*xn
:　　　　　　　　　　:　　　　　:
:　　　　　　　　　　:　　　　　:
i xi*x1 xi*x2 …… xi*xj …… xi*xn
:　　　　　　　　　　:　　　　　:
:　　　　　　　　　　:　　　　　:
n xn*x1 xn*x2 …… xn*xj …… xn*xn

上の表でxi*xiとなるのは幾つあるでしょうか？
xi*xj(i≠j)となるのは幾つあるでしょうか？

> ＞ (ΣE(xi^2) + 2*ΣΣE(xi)*E(xj))/n^2
> この式に　E(xi^2) = σ^2 + μ^2 　
> を代入していけばいいのでしょうか？
については、そのとおりです。

お礼

お礼が遅れまして申し訳ありません。
解りやすく丁寧な説明誠に感謝いたします。
有難うございます。

回答No.2

fef

問題の等式の左辺に標本平均の定義を代入して計算していきましょう．

計算する上でのポイントは，期待値に関する等式
E(x_1 + x_2) = E(x_1) + E(x_2)
と，標本の独立性から成り立つ等式
E(x_1 x_2) = E(x_1) E(x_2)
です．

回答No.1

noname#227064

エックスバーをxbar、その自乗をxbar^2と記載することにします。

E(xi^2) = σ^2 + μ^2 が理解できているとのことなので、

E(xbar^2) = E((Σxi/n)^2)
= E(Σxi^2 + 2*ΣΣ(xi*xj))/n^2 (１つ目のΣはi=1～n, 2つ目のΣはi=1～n-1, 3つ目のΣはj=i=1～nの和）
= (ΣE(xi^2) + 2*ΣΣE(xi*xj))/n^2
= (ΣE(xi^2) + 2*ΣΣE(xi)*E(xj))/n^2

ここまでくればわかるでしょうか？

補足

早速のご回答ありがとうございます。
本当に数学は苦手でかなり苦労しています・・

それはさておき
＞E(Σxi^2 + 2*ΣΣ(xi*xj))/n^2 (１つ目のΣはi=1～n, 2つ目のΣはi=1～n-1, 3つ目のΣはj=i=1～nの和）
の式ですがΣを２回かける（自乗）とこのようなことになるのでしょうか？
おそらくかなりレベルの低い質問になっているかと思いますがどうか
その辺はご容赦いただけると助かります。
またなぜ二つ目のΣはｎ-１になるのですか？？公式があればお手数ですがご教授いただけると助かります。

また
＞ (ΣE(xi^2) + 2*ΣΣE(xi)*E(xj))/n^2
この式に　E(xi^2) = σ^2 + μ^2 　
を代入していけばいいのでしょうか？

お手すきの時間で構いませんのでよろしくお願いいたします！