ベクトル的四元数の立方積の交換則でつまづいています
「数(下)」(H・D・エビングハウス、他著、成木勇夫訳、ISBN4-431-71124-4)からの質問です。
232頁の「ベクトル的四元数の立方積の交換則」の導出の方法が判らず、足踏みしています。
ベクトル的四元数u, v, w ∈ Im Hの立方積を<u×v, w>と表します。
ベクトル的四元数u, v同士の積は、
uv = -<u, v>e+u×v
と表され、
<uv, w>=<-<u, v>e+u×v, w>=<-<u, v>e, w>+<u×v, w>
ここでe⊥wなので、<-<u, v>e, w>=0となり、
<uv, w>=<u×v, w> …(1)
が導出されます。
u=βi+γj+δk
v=ρi+σj+τk
の時、uvを単調に書けば、
uv = -(βρ+γσ+δτ)e+(γτ-δσ)i+(δρ-βτ)j+(βσ-γρ)k …(*)
となり、(1), (*)より
<u×v, u>=0 …(2)
が導出されます。判らないのは、(1)の(?)uをu+wで置き換え、
u×v=-(v×u)
に注意すると、
交換則 <u×v, w>=<u, v×w> …(3)
が成立すると言うのですが、導出方法がわかりません。
交換則の導出、ひいては(1), (2), (3)のもっとエレガントな導出方法を教えて頂ければ幸いです。