極限について質問です。

質問

極限について質問です。
テイラーの定理(およびマクローランの定理)を利用せずに

lim(n→∞) x^n/e^x = 0

を証明する方法はあるでしょうか。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

n→∞ではなくて、x→∞ですよね？

f(x)=log(x^n/e^x)=nlog(x)-x.
(#)f'(x)=n/x-1.
n/x-1≦-1/2,(2n≦x).
(#)の両辺を区間[2n,x]で積分する
f(x)-f(2n)≦-(x-2n)/2→-∞.
つまり、f(x)→∞、したがって、x^n/e^x→0。

回答No.3

Tacosan

n=1 のときを示せば十分で, そのとき e^x ≧ 1 + x + x^2/2 (x ≧ 0) を使う.

回答No.2

sage-night

ロピタルの定理はどうですか？