円の積分で

質問

原点中心、半径ｒの円のａ(0＜ａ＜ｒ)からｒまでの積分
つまり
S=∫[a→r]√(r^2-x^2)　　　
の計算はa=1/2、1/√2、(√3)/2ならできますけど、一般的に解くことは高校レベルでできるのでしょうか？

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃１です。
arcsinとか、arccosというのは、三角関数の逆関数ですが
難しく考えなくても、三角関数表の見方は習っていると思いますので
解けると思います。
ただし、きっちりとした数字にならない場合は、近似値になりますが・・

また、参考までに
arcsinというのは、sinθの値が、そうなるようなθを求める、ということです。
例えば、
sinπ/2=1ですが、arcsinθ=1となるθ=π/2(0≦θ≦2π)
sinπ/4=1/√2ですが、arcsinθ=1/√2となるθ=π/4,3π/4
となるように求めます。

sinθやcosθが、その値になるようなθを求めることは
知らず知らずのうちに、普段でも使っていると思います。
計算で、θが求まらない場合は、三角関数表を使って
sinθやcosθが、そのような値になっている角度を求めることができます。

回答No.4

mmky

回答は出ていますが参考程度に

原点中心、半径ｒの円のａ(0＜ａ＜ｒ)からｒまでの積分 S=∫[a→r]√(r^2-x^2)dx　
を計算する場合は、x=r の時に面積がπr＾2/2 になることは自明ですから、
S=πr＾2/2－2*∫[0→a]√(r^2-x^2)dx　
とするほうが簡便ですね。
(x/r)＜１　で展開すれば、
√(r^2-x^2)=r*{1-(x/r)^2}＾(1/2)
=r*{1－(1/2)(x/r)^2+(1/8)(x/r)^4－・・・}
≒r*{1－(1/2)(x/r)^2}
4乗以降の項は誤差として処理できますね。
∫[0→a]√(r^2-x^2)dx=rx*{1－(1/3*2)(x/r)^2}　
=ra*{1－(1/3*2)(a/r)^2}
だから
S=πr＾2/2－2ra{1－(1/6)(a/r)^2}
として求める方法はありますね。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

三角関数とその逆関数を使います。
三角関数の逆関数をやっていないので一般的には
高校レベルでは無理でしょう。

ａを変換したのをαとして、「ただしcosα＝a/r」などと
書くことは可能ですが。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

fushigichan

ONEONEさん、こんにちは。
軌跡の問題では条件が足りなくてすみませんでした。
今回は頑張ってみたいと思います。

まず、原点中心、半径rの円の面積の求め方は
x^2+y^2=r^2
y=±√(r^2-x^2)
ですから、円の面積の求め方は
∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx-∫[-r→r]-√(r^2-x^2)dx
=2∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx
=4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx・・・（☆）

ここで、x=rsinθとおくと、
dx=rcosθdθ
（☆）=4∫[0→Π/2]rcosθ*rcodθdθ
=4r^2∫[0→Π/2]cos^2θdθ
=2r^2∫[0→Π/2](1+cos2θ)dθ
=2r^2[θ+sin2θ/2]
=Πr^2

のように求められます。

ですから、x=rsinθとおくと、
x=rのとき、θ=Π/2
x=aのとき、sinθ=a/rより、θ=arcsin(a/r)
となるので、これを使えば

S=∫[a→r]√(r^2-x^2)　←これはy座標が０以上の部分ですが
=∫[arcsin(a/r)→Π/2]r^2cos^2θdθ
=r^2/2∫[arcsin(a/r)→Π/2](1+cos2θ)dθ
によって求められると思います。
一般的に、スッキリした数値になるかは別として求められますね。
ご参考になればうれしいです。

お礼

ありがとうございます。
やはり逆三角関数をつかうのですか。
大学レベルですなぁ。